分數方程

1重點摘要 Summary

有分母的方程：兩邊每一項都乘 LCM，殺走分母，變回普通方程再解。

2生字卡 Vocabulary

3逐步講解 Steps

1. 1. 分數方程是什麼？分數方程是未知數出現在分數中的方程，例如 x2 = 5，變數 x 位於分子；x3 + 1 = 4 也是分數方程。這類題目的特點是直接解會被分母妨礙，所以第一步的技巧是先消去分數，把方程變成整數方程再解。日常例子：一條繩剪去一半是 5 米，繩原長多少？設原長 x 米，得 x2 = 5。掌握消分母的技巧後，分數方程與普通方程的解法完全相同。
2. 2. 第一步：消去分數第一步是消去分數：方程兩邊同時乘以分母。x2 = 5 的分母是 2，兩邊同時乘 2：2 × x2 = 5 × 2，左邊的 2 與分母 2 互相抵消，化簡得 x = 10。原理與天秤一樣：兩邊做相同運算，平衡不改變。要注意必須兩邊同時乘，只乘一邊便破壞了平衡；也要記住乘的對象是整條方程的每一項，這一點在有多項的方程尤其重要，下一例會詳細說明。
3. 3. 第二步：解方程第二步是解含分母與常數的方程。x3 + 1 = 4 有兩個部分：分數項和常數項。第一步先消分數：兩邊每一項同時乘 3，即 3 × x3 + 3 × 1 = 3 × 4，注意常數 1 也要乘 3，化簡得 x + 3 = 12。常見錯誤正是漏乘常數項，寫成 x + 1 = 12，結果全錯；記住「乘要乘齊每一項」，分數方程的錯誤便少了一大半。
4. 4. 第三步：移項第三步是移項求解。x + 3 = 12 中，把 +3 移到等號右邊變為 −3：x = 12 − 3 = 9。移項規則與之前所學完全一致：符號過等號要改變。整個流程回顧：先兩邊乘分母消去分數，再移項孤立 x，最後計算結果。三步各自獨立又環環相扣，任何一步的符號錯誤都會傳到最後，所以每完成一步便核對一次符號，比全部做完才檢查更可靠。
5. 5. 驗算驗算把解代回原方程：x = 9 代入 x3 + 1，得 93 + 1 = 3 + 1 = 4，與右邊相等，答案正確。分數方程的驗算特別有用，因為消分數的過程步驟較多，乘漏一項、約錯數都會被驗算即時揭發。例如若錯解 x = 6，代入得 63 + 1 = 3，不等於 4，立即知道出錯。養成「解完必代入」的習慣，分數方程的正確率會明顯提高。
6. 6. 兩個分數兩個分數的方程，例如 x2 + x3 = 5，先找最小公分母：2 和 3 的最小公倍數是 6。第二步兩邊每一項同時乘 6：6 × x2 + 6 × x3 = 6 × 5，各項約分後得 3x + 2x = 30。注意三項全部乘了 6，包括右邊的 5；只乘左邊的兩項是常見錯誤。用公分母一次過消去所有分數，比分數逐個處理快捷得多，這是分數方程的核心技巧。
7. 7. 化簡消去分數後，方程已是普通的一元一次方程。3x + 2x = 30 先合併同類項：3x + 2x = 5x，得 5x = 30；再兩邊同時除以 5，得 x = 6。最後驗算：62 + 63 = 3 + 2 = 5，與原方程右邊一致。回顧全流程：找最小公分母、兩邊每項同乘、合併同類項、移項求解、代入驗算；五步之中最容易出錯的是第二步漏乘某項，每次乘完逐項點一次便穩妥。

4圖解 Diagrams

5例題示範 Example

6常見錯誤 Mistakes

75 題快測 Quick check

8重點回顧 Recap

• 分數方程：變數出現在分數裡面
• 第一步：消去分數（兩邊同乘分母）
• 兩個分數：找最小公分母
• 消去分數後就是普通方程
• 驗算：代入回去看對不對