排列与组合及进阶概率
进阶先分清讲究次序的排列与不计次序的组合，用排列数与组合数公式计数；概率方面由加法与乘法定律推进到条件概率，配合温氏图与树形图，就能拆解进阶概率应用题。
- 分类用加法法则、分步用乘法法则，是一切计数题的根基
- 排列 nPr = n!/(n − r)! 讲次序；组合 nCr = n!/[r!(n − r)!] 不计次序；nPr = nCr × r!
- 「必须相邻」用捆绑法；「不得相邻」用总数减相邻数或插空法
文体小知识：数学概念说明文——由计数的加法与乘法法则出发，建立排列与组合的概念及记法，再以集合记法、温氏图、树形图与条件概率处理进阶概率问题。
§课文原文 Passage
1计数有两条基本法则：完成一件事若可分为几类方法，各类互不重叠，总方法数用加法；完成一件事若须分几个步骤依次进行，总方法数用乘法。举个例子：由香港到广州可搭直通车或直达巴士，两者各有 3 班与 5 班，共有 8 个选择；若行程是先到深圳再到广州，深圳有 4 班、广州有 5 班，便有 20 种走法。
2从 n 件相异物件选出 r 件排成一列，次序要紧，方法数称为排列；若只选不排、不计次序，方法数称为组合。两者以阶乘计算，关系是排列数等于组合数乘以 r 的阶乘，因为每个组合内部可以再排出 r 的阶乘种次序。公式细节留待步骤展开，这里先建立最重要的判断意识：动笔前先问一句，次序要不要紧。
3概率方面，加法定律说「甲或乙发生」的概率，等于甲的概率加乙的概率，再减去「甲与乙同时发生」的概率；若两事件互斥，即不可能同时发生，最后一项为零，概率直接相加。乘法定律则说独立事件同时发生的概率相乘。举个例子：掷一枚公平骰子，掷得二或三的概率是六分之一加六分之一，即三分之一；掷两次都掷得六的概率是六分之一自乘，即三十六分之一。
4条件概率处理「已知某事件已发生时，另一事件发生的概率」。树形图是处理条件概率的利器：每层分支代表一步试验，分支上写该步的概率；沿路径相乘，便得该结果的概率。举个例子：袋中有 4 红 3 白球，不还原地抽两球，第一球红的概率是 47；若第一球已红，袋中剩 3 红 3 白，第二球红的概率变成 12。
5排列组合与概率常合并出题：先用组合数数出有利结果与全部结果的数目，再相除得概率。答题时先判断「次序是否要紧」：抽奖名次要紧用排列，委员会成员不计次序用组合；再判断「有无放回」：不放回抽样各步概率会改变，须用条件概率或树形图逐步追踪。这两个判断做对，题目便成功了大半，余下的只是细心计算。
1重点摘要 Summary
先分清讲究次序的排列与不计次序的组合，用排列数与组合数公式计数；概率方面由加法与乘法定律推进到条件概率，配合温氏图与树形图，就能拆解进阶概率应用题。
2生字卡 Vocabulary
从 n 件相异物件选出 r 件并排次序的方法数，记作 nPr。
从 n 件相异物件选出 r 件而不计次序的方法数，记作 nCr。
记号 n! = n × (n − 1) × … × 1，规定 0! = 1；阶乘是排列组合公式的基础。
一件事若可分几类互不重叠的方法完成，总方法数为各类方法数之和。
一件事若须分几个步骤依次完成，总方法数为各步骤方法数之积。
不可能同时发生的事件；其并集概率等于各自概率之和。
一事件的发生与否不影响另一事件概率的事件；同时发生的概率相乘。
在已知事件 B 发生的前提下事件 A 发生的概率，记作 P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。
把多步试验画成逐层分支的图，分支上标概率；沿路径相乘、同结果相加。
以重叠圆表示事件交并关系的图，配合集合记法 A∩B、A∪B、A′ 处理概率题。
3逐步讲解 Steps
- 第一步：加法法则与乘法法则计数第一步是分清「分类」还是「分步」。分类用加法：各类方法互不重叠、任选一类即可完成整件事，总数相加。分步用乘法：每个步骤都要各做一次选择、缺一不可，总数相乘。举个例子：用 1、2、3 三个数字组成不重复的两位数，十位有 3 种选择、个位剩 2 种，共 3 × 2 = 6 个，这是分步；若问「两位数中含数字 1 的有多少个」，便要按含 1 的位置分类讨论再相加。动笔前先画出步骤或类别，是所有计数题的第一步。
- 第二步：排列的概念与记法从 n 件相异物件选出 r 件排成次序，方法数记作 nPr，公式 nPr = n!/(n − r)!。直观理解：第一个位置有 n 个选择，第二个位置剩 n − 1 个，如此类推共 r 个位置。举个例子：8 名跑手争夺金、银、铜牌，次序要紧，方法数 = 8P3 = 8 × 7 × 6 = 336。阶乘记号 n! = n × (n − 1) × … × 1，并规定 0! = 1。留意「相邻」类题目：把必须相邻的物件捆成一个单位再与其他物件排列，最后乘上单位内部的排列数，这是排列题最常用的技巧。
- 第三步：组合的概念与记法只选不排用组合：nCr = n!/[r!(n − r)!]。判断口诀：「选出、组队、委员会、抽奖不排名」多属组合；「排队、名次、密码、路线次序」多属排列。举个例子：10 名学生选 3 人当干事、不分工，方法数 = 10C3 = 120；若 3 人分别任主席、文书、财政，职位要紧，就要乘上 3! = 6，即 720 种。关系式 nPr = nCr × r! 说明排列数永远不小于对应的组合数，两条公式可以互相验算；计错时，先检查是不是把次序搞错了。
- 第四步：排列组合应用题的典型技巧常见技巧有三：捆绑法处理「必须相邻」；先排其他物件再插空，处理「不得相邻」；分组分配处理「按名额选人」。举个例子：6 人排一行、其中甲乙必须相邻：把甲乙捆成一体，与其余 4 人共 5 个单位排列，得 5! = 120；再乘甲乙内部互换的 2! = 2，共 240 种。若改问「甲乙不得相邻」，用总数减相邻数：6! − 240 = 720 − 240 = 480 种。验算方法：换一种数法重算一次，例如用插空法核对 480，答案一致才落笔作答。
- 第五步：集合记法、温氏图与概率加法定律用集合记法表示事件：A 与 B 同时发生记 A∩B，至少一个发生记 A∪B，A 不发生记 A′，且 P(A′) = 1 − P(A)。加法定律：P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)，减去的正是被算了两次的重叠部分；互斥事件 A∩B 为空集，概率直接相加。举个例子：班上 40 人中 25 人参加数学比赛、15 人参加物理比赛、8 人两者皆参加，则至少参加一项的有 25 + 15 − 8 = 32 人；温氏图一画，三个区域的人数一目了然，这类题目在延伸试卷常以文字题形式出现。
- 第六步：独立事件与条件概率若 P(A∩B) = P(A) × P(B)，称 A 与 B 独立：一个发生与否不影响另一个的概率。条件概率 P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，是在 B 已发生的前提下重新计算 A 的机会。举个例子：掷一枚公平骰两次，第二次掷得 6 的概率不因第一次结果而改变，两次独立；但同一副扑克不还原地抽两张，第二张是 A 的概率会因第一张是否 A 而改变，两者不独立，须用条件概率处理。判断独立不能凭感觉，要用等式验证；有放回是独立，不放回一般不独立。
- 第七步：树形图与进阶概率应用树形图把多步试验画成分支：第一层写第一步各结果的概率，第二层写「已知第一步结果」下第二步的条件概率；某条路径的概率沿路相乘，再把符合题意的路径概率相加。举个例子：袋中 4 红 3 白，不还原地抽两球，求「两球同色」：路径红红为 47 × 36 = 27，路径白白为 37 × 26 = 17，合计 37。做题流程：先判断有无放回，再画图标概率，最后按题目所求「逐路径相乘、同结果相加」；若题目问「已知第二球红，求第一球红」的反向条件概率，把各路径概率列表后再相比即可。
5例题示范 Example
例题：（一）6 名学生排一行拍照，其中甲、乙必须相邻，求排法数目；（二）从 4 男 3 女中选 3 人组成委员会，求全部为女生的选法数目；（三）袋中有 4 红 3 白球，不还原地先后抽两球，已知第一球是红色，求第二球也是红色的概率。
- （一）把甲乙捆成一个单位，与其余 4 人共 5 个单位排列：5! = 120 种
- 甲乙内部可互换：2! = 2 种，故排法共 120 × 2 = 240 种
- （二）选人不计次序，用组合：全部为女生即从 3 名女生中选 3 人，3C3 = 1 种
- （三）「已知第一球是红」属条件概率：此时袋中尚余 3 红 3 白共 6 球
- 故 P(第二球红 | 第一球红) = 36 = 12；若再求两球皆红的概率，则为 47 × 12 = 27
- 答案：（一）240 种。（二）1 种（三名女生全选）。（三）P = 12；两球皆红的概率为 27。解题关键：「必须相邻」用捆绑法；选人不计次序用组合；「已知……」属条件概率，分子与分母都要按已知条件缩小范围，树形图逐段相乘即可核对。
6常见错误 Mistakes
75 题快测 Quick check
Q1排列与组合的分别是什么？两者有什么关系？
Q2计算：7 名学生中选 4 人参加辩论比赛，有多少种选法？
Q3计算：5 人排一行拍照，有多少种排法？
Q4计算：掷一枚公平骰，掷得偶数或 5 的概率是多少？
Q5计算：袋中 5 红 2 白，不还原地抽两球，求两球皆白的概率。
8重点回顾 Recap
- 分类用加法法则、分步用乘法法则，是一切计数题的根基
- 排列 nPr = n!/(n − r)! 讲次序；组合 nCr = n!/[r!(n − r)!] 不计次序；nPr = nCr × r!
- 「必须相邻」用捆绑法；「不得相邻」用总数减相邻数或插空法
- 加法定律 P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)；互斥事件的重叠项为零
- 条件概率 P(A|B) = P(A∩B)/P(B)；树形图逐段相乘、符合题意的路径相加