数系与根式
基础数系由自然数、整数、有理数层层扩展至实数，无理数与有理数的分界在于能否写成整数之比；掌握根式性质与分母有理化，便能化简延伸课程中常见的无理数式。
- 有理数可写成两个整数之比；无理数的小数无限不循环；两者合称实数
- √(ab) = √a × √b、√(a/b) = √a/√b（a、b 为正数），是化简根式的依据
- 化简根式先抽出最大的平方因数；最简根式才看得出同类关系并可合并
文体小知识：数学概念说明文——由数系的分层讲起，说明有理数与无理数的分别，再讲解根式的化简与分母有理化，是延伸单元二的代数基础课。
§课文原文 Passage
1数系是数学的地基。最基本的是自然数，即一、二、三这样用来点算的数；加入零与负数后，扩展为整数。整数之中，能写成两个整数之比的数统称有理数，例如二分之一、负四分之三；整数、有限小数与循环小数其实都属于有理数，因为它们统统可以化成分数。
2并非所有数都能写成整数之比。举个例子：正方形的边长为一时，对角线的长度是二的平方根，约等于一点四一四二，小数位无限延续且不循环，无论如何都不能写成分数，这类数称为无理数；圆周率也是著名的无理数。有理数与无理数合称实数，实数与数轴上的点一一对应，共同填满整条数轴。
3无理数常用根号表示，含根号的数式称为根式。根式运算有两条重要性质：乘积的平方根等于各因数平方根的乘积；商的平方根等于分子平方根除以分母平方根。举个例子：48 可写成 16 乘 3，所以 48 的平方根等于 16 的平方根乘以 3 的平方根，即四倍根号三。化简后被开方数不含平方因数的根式，称为最简根式。
4根号相同的根式可以像合并同类项一样合并。举个例子：根号 48 加根号 27 减根号 12，三者化简后分别是四倍根号三、三倍根号三与二倍根号三，合并得五倍根号三。开始时三个根式看似互不相干，化成最简根式后便现出同类的身分，这正是先化简再运算的价值所在。
5当分母含有根号时，通常要把分母化成不含根号，这个过程称为有理化分母。举个例子：分母是根号五减根号二时，分子分母同乘根号五加根号二，分母按平方差变成五减二，即三。两个只差中间正负号的根式数式互为共轭，共轭两式相乘时根号部分互相抵消，只剩有理数，这是延伸课程中经常使用的技巧。
1重点摘要 Summary
数系由自然数、整数、有理数层层扩展至实数，无理数与有理数的分界在于能否写成整数之比；掌握根式性质与分母有理化，便能化简延伸课程中常见的无理数式。
2生字卡 Vocabulary
把数按性质分层的体系：自然数、整数、有理数、无理数与实数逐层扩展。
能写成两个整数之比（分数）的数；整数、有限小数与循环小数都是有理数。
不能写成整数之比的数，小数展开无限且不循环，如二的平方根、圆周率。
有理数与无理数的统称，与数轴上的点一一对应。
含有根号的数式；开方不尽的平方根是常见的无理数表示法。
被开方数不含平方因数、分母不含根号的根式，是根式运算的标准答案形式。
化简后根号内数值相同的根式，可以用系数相加减合并。
分子分母同乘适当数式，把分母化成不含根号的过程。
与原式只差中间正负号的数式，如根号五加根号二与根号五减根号二；相乘时用平方差只剩有理数。
小数位按固定样式不断重复的小数，必可化成分数，故属有理数。
3逐步讲解 Steps
- 第一步：数系的分层结构认识数系要由最基本的层次说起。自然数是用来点算的数；加入零和负数后扩展为整数；两个整数的比构成有理数，整数、有限小数与循环小数都是有理数。举个例子：0.75 可以写成四分之三，0.333 一类循环小数可以写成三分之一，所以两者都是有理数；判别标准只有一条——能否写成两个整数之比。做题时若问某数属于哪一类，就按这条定义逐层检查，先看是不是整数，再看能否写成分数，便不会混淆。
- 第二步：无理数与实数不能写成两个整数之比的数是无理数，它们的小数展开无限且不循环。举个例子：2 的平方根约等于 1.41421356，小数位永远不循环，故是无理数；圆周率约等于 3.14159，同样是无理数。判断时不能只看小数开头：1.414 本身是有限小数，属于有理数，它只是 2 的平方根的近似值，两者不能画上等号。有理数与无理数合称实数，实数与数轴上的点一一对应——每一个实数对应数轴上一点，每一点对应一个实数——这是日后学习函数与极限的基础。
- 第三步：根式的两条性质根式运算有两条基本性质：乘积的平方根等于各因数平方根的乘积；商的平方根等于分子平方根除以分母平方根。用文字说，就是根号内相乘或相除，可以先分别开方再乘除。举个例子：36 的平方根可以看作 4 的平方根乘 9 的平方根，即 2 乘 3 等于 6；2549 的平方根，等于 25 的平方根除以 49 的平方根，即 57。这两条性质是把大数开方化小的关键，计算时先在被开方数中找平方因数，例如 4、9、16、25、36、49，抽出来开方即可。
- 第四步：化简根式与最简形式化简根式的标准做法，是把根号内的数分解出最大的平方因数再开方。举个例子：化简根号 72，72 等于 36 乘 2，36 的平方根是 6，所以根号 72 等于六倍根号二。被开方数不含平方因数、分母不含根号的根式称为最简根式，延伸单元的答案一般要求写成最简形式，因为最简形式才容易比较大小与合并运算。举个例子：根号 8 与根号 50 表面不同，化简后分别是二倍根号二与五倍根号二，同类关系一目了然；若只化到一半，例如把根号 8 写成二倍根号二以外的形式，合并时便会出错。
- 第五步：合并同类根式化成最简根式后，根号内相同的根式就是同类根式，可以像合并同类项一样用系数相加减。举个例子：化简根号 48 加根号 27 减根号 12。根号 48 等于四倍根号三，根号 27 等于三倍根号三，根号 12 等于二倍根号三，于是原式等于四加三减二倍根号三，即五倍根号三。要留意根号内不同的根式不能直接合并：根号二加根号三不能写成根号五，正如二个苹果加三个橙不等于五个苹果；遇到不同类根式，写到最简已经是终点，不要强行合并。
- 第六步：分母有理化分母含根号的分数不利于再运算与比较，通常要把分母化成有理数，这个步骤称为有理化分母，做法是分子分母同乘同一个数式，保持分数的值不变。举个例子：3/√5，分子分母同乘根号五，得 3√55，分母变成整数。若分母是两项数式，如 1/(√5 − √2)，就要乘以它的共轭式根号五加根号二，分母按平方差变成五减二等于三，分子变成根号五加根号二，整条分数便化简完成。答题时写出这一步乘法，是延伸试卷的标准得分位。
- 第七步：共轭根式的威力两个只有中间符号不同的根式数式互为共轭，例如根号五加根号二与根号五减根号二。共轭两式相乘时应用平方差公式，根号部分完全抵消，只剩有理数。举个例子：(√7 + √3)(√7 − √3) 等于 7 减 3 等于 4；再如 (1 + √2)(1 − √2) 等于 1 减 2 等于负一。这一招用途极广：化简分母为两项根式的分数、比较根式大小、以至日后在极限题中把分子有理化，都靠共轭式。练习时可以把每条题目都乘一次共轭验算，务求看到两项根式便即时想到乘谁。
5例题示范 Example
例题：（一）化简 √48 + √27 − √12；（二）化简 1/(√5 − √2)。
- （一）先化简各根式：√48 = √(16 × 3) = 4√3；√27 = √(9 × 3) = 3√3；√12 = √(4 × 3) = 2√3
- 合并同类根式：原式 = 4√3 + 3√3 − 2√3 = (4 + 3 − 2)√3 = 5√3
- （二）分子分母同乘共轭式：1/(√5 − √2) = (√5 + √2)/[(√5 − √2)(√5 + √2)]
- 分母用平方差展开：(√5 − √2)(√5 + √2) = (√5)² − (√2)² = 5 − 2 = 3
- 所以 1/(√5 − √2) = (√5 + √2)/3
- 答案：（一）√48 + √27 − √12 = 5√3。（二）1/(√5 − √2) = (√5 + √2)/3。答题时先把每个根式化成最简根式再合并；有理化时分子分母必须同乘共轭式，并用平方差核对分母确实变成有理数。
6常见错误 Mistakes
75 题快测 Quick check
Q1什么是有理数？什么是无理数？各举一例。
Q2计算：化简 √50。
Q3计算：化简 √32 + √18。
Q4计算：有理化 6/√3。
Q5为什么有理化分母时，分子分母要同乘同一数式？
8重点回顾 Recap
- 有理数可写成两个整数之比；无理数的小数无限不循环；两者合称实数
- √(ab) = √a × √b、√(a/b) = √a/√b（a、b 为正数），是化简根式的依据
- 化简根式先抽出最大的平方因数；最简根式才看得出同类关系并可合并
- 分母有理化：分子分母同乘分母的共轭式，用平方差使分母变有理数
- 验算根式可用平方还原：把答案平方，看是否等于原被开方数