续三角学
基础延伸单元二把三角学推进一层：以弧度量角，新增余割、正割、余切三个函数，并用复角与二倍角公式证明恒等式、化简数式与解三角方程，为日后的微积分铺路。
- 弧度制：180° = π，90° = π/2，换算只需记住这一条
- cosec x = 1/sin x、sec x = 1/cos x、cot x = 1/tan x，配合平方关系化简数式
- 复角公式展开两角和差；sin(A + B) 绝不等于 sin A + sin B
文体小知识：数学概念说明文——由弧度法与三个倒数函数说起，重点讲解复角公式与二倍角公式，并示范恒等式证明与在零至三百六十度区间解三角方程。
§课文原文 Passage
1必修课程用度数量角，一个直角是九十度；延伸课程则引入弧度：在一个圆中，弧长恰好等于半径的圆心角定为一弧度。半圆的弧长是圆周率乘半径，所以一百八十度等于圆周率弧度。弧度令三角函数的公式变得简洁，是延伸单元二处理三角问题的标准量角单位。
2在正弦、余弦、正切之外，本课新增三个倒数函数：余割是正弦的倒数，正割是余弦的倒数，余切是正切的倒数。举个例子：若三十度角的正弦是二分之一，则它的余割是二。配合一加正切平方等于正割平方、一加余切平方等于余割平方两条恒等式，可以化简含倒数函数的三角数式，路径比必修课程宽阔得多。
3复角公式处理两角之和与差的三角函数：例如两角之和的正弦，等于第一角的正弦乘第二角的余弦，加上第一角的余弦乘第二角的正弦。举个例子：以四十五度加三十度为例，套用公式得根号六加根号二再除以四，正好是七十五度的正弦值；可见复角公式能把陌生角的三角函数拆成熟悉角来计算。
4二倍角公式是复角公式的特例：正弦的二倍角等于两倍正弦乘余弦；余弦的二倍角有三种写法，常用的包括一减二倍正弦平方与二倍余弦平方减一。举个例子：已知某角的正弦为五分之三，该角二倍的正弦就是二乘五分之三乘五分之四，即二十五分之二十四；这类计算在证明与应用中都极常用。
5复角与二倍角公式更是解三角方程和证明恒等式的工具。举个例子：解方程二倍角的正弦等于余弦，先把左边写成两倍正弦乘余弦，移项后提取公因式，便化成两个简单方程，在零至三百六十度区间内逐一求解。这类题目在延伸试卷中经常出现，重点是熟记公式、按象限写齐所有解，一个都不能漏。
1重点摘要 Summary
延伸单元二把三角学推进一层：以弧度量角，新增余割、正割、余切三个函数，并用复角与二倍角公式证明恒等式、化简数式与解三角方程，为日后的微积分铺路。
2生字卡 Vocabulary
弧长等于半径的圆心角；180° = π 弧度，是延伸课程的标准量角单位。
正弦的倒数函数，记作 cosec x = 1/sin x。
余弦的倒数函数，记作 sec x = 1/cos x。
正切的倒数函数，记作 cot x = 1/tan x = cos x/sin x。
把两角和或差的三角函数展开的公式，如 sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B。
复角公式中两角相等的特例：sin 2A = 2 sin A cos A；cos 2A 有三种写法。
对所有容许的角都成立的等式，以三横符号 ≡ 表示；证明须由一边化至另一边。
含三角函数的方程；在指定区间内通常有多于一个解，须按象限写齐。
坐标平面被两轴分成的四个区域；各象限决定三角函数值的正负。
函数值重复一次所需的区间长度；正弦、余弦与正切的周期分别为 360° 与 180°。
3逐步讲解 Steps
- 第一步：弧度法的定义弧度以弧长量角：在半径为 r 的圆中，弧长等于 r 的圆心角就是 1 弧度。整个圆的周长是 2πr，所以 360° 等于 2π 弧度，180° 等于 π 弧度，90° 等于 π/2。举个例子：把 60° 化为弧度，用 60 乘 π 再除以 180，得 π/3；反过来把 5π/6 化为度数，乘 180 再除以 π，得 150°。换算核心只需记住一条：180° 对应 π。日后学导数与积分时，三角函数的公式全部以弧度为标准，现在养成习惯，日后事半功倍。
- 第二步：三个倒数函数余割函数 cosec x 等于 1/sin x，正割函数 sec x 等于 1/cos x，余切函数 cot x 等于 1/tan x（亦等于 cos x/sin x）。举个例子：x = 30° 时 sin x = 12，所以 cosec 30° = 2；cos 60° = 12，所以 sec 60° = 2。要留意倒数函数在原函数为零处没有定义：sin 180° = 0，故 cosec 180° 不存在。配合平方关系 1 + tan²x = sec²x 与 1 + cot²x = cosec²x，可以化简含倒数函数的数式，例如把 sec²x − tan²x 直接写成 1。
- 第三步：复角公式（正弦与余弦）复角公式把两角和与差的函数展开：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B；sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B；cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B；cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B。举个例子：求 sin 75°，把 75° 看作 45° + 30°，代入得 (√6 + √2)/4。特别注意 sin(A + B) 不等于 sin A + sin B——这是最常见的错误；用 A = B = 30° 验证：左边 sin 60° 约 0.866，右边等于 1，两者根本不同，可见必须套公式。
- 第四步：正切的复角公式正切的复角公式为 tan(A + B) = (tan A + tan B)/(1 − tan A tan B)，减角则分子变 tan A − tan B、分母变 1 + tan A tan B。举个例子：tan(45° + 30°) = (1 + 1/√3)/(1 − 1/√3)，化简得 2 + √3，正是 tan 75°。公式在 tan A tan B = 1 时失效，因为分母为零；这对应 A + B = 90° 的情形，而九十度的正切本来就无定义，公式失效恰与事实吻合。记忆方法：分子是两个正切相加减，分母是 1 减或加乘积，加减号刚好交错。
- 第五步：二倍角公式在复角公式中令 B = A，便得二倍角公式：sin 2A = 2 sin A cos A；cos 2A = cos²A − sin²A = 1 − 2sin²A = 2cos²A − 1，三种写法按题目需要选用；tan 2A = 2 tan A/(1 − tan²A)。举个例子：已知 sin A = 35 且 A 是锐角，则 cos A = 45，于是 sin 2A = 2 × (35) × (45) = 2425。余弦二倍角的三种形式常在恒等式证明中互相替换：见到 sin²A 就换成 (1 − cos 2A)/2，见到 cos²A 就换成 (1 + cos 2A)/2，二次式随即降为一次。
- 第六步：用复角公式证明恒等式证明恒等式的一般策略：从较复杂的一边入手，把所有函数化成 sin 与 cos，套用公式逐步靠拢另一边，每一行都写出所用公式。举个例子：证明 sin 2A = 2 sin A cos A，只需在 sin(A + B) 中令 B = A，一行便成；又如证明 sin(A + B) sin(A − B) = sin²A − sin²B，展开左边、合并同类项即得右边。答题纪律：等号方向保持单向推进，不可两边同时变形再『相会』，也不要中途倒推；每步变形都要可追溯，这是评卷员检查的重点。
- 第七步：解三角方程（0° 至 360°）解三角方程先化成只含一个函数的简单方程，再按周期与象限写齐所有解。举个例子：解 sin 2x = cos x，其中 0° ≤ x ≤ 360°。先用二倍角公式把左边写成 2 sin x cos x，移项得 cos x(2 sin x − 1) = 0，于是 cos x = 0 或 sin x = 12。前者给 x = 90°、270°；后者在第一、二象限给 x = 30°、150°。另一类题如 sin 2x = 1，宜设 θ = 2x，θ 的范围扩大为 0° 至 720°，解得 θ = 90°、450°，再除以 2 得 x = 45°、225°——角倍乘时范围也要倍大，这是最容易漏解的地方。
5例题示范 Example
例题：（一）证明恒等式 sin(A + B) − sin(A − B) = 2 cos A sin B；（二）解方程 sin 2x = sin x，其中 0° ≤ x ≤ 360°。
- （一）展开左边：sin(A + B) − sin(A − B) = (sin A cos B + cos A sin B) − (sin A cos B − cos A sin B)
- 合并：sin A cos B 两项互相抵消，余下 cos A sin B + cos A sin B = 2 cos A sin B，得证
- （二）用二倍角公式：sin 2x = 2 sin x cos x，方程变成 2 sin x cos x = sin x
- 移项并提取公因式：2 sin x cos x − sin x = 0，即 sin x(2 cos x − 1) = 0
- 解 sin x = 0 得 x = 0°、180°、360°；解 cos x = 12 得 x = 60°、300°
- 答案：（一）由复角公式展开后合并，左右两边相等，恒等式得证。（二）x = 0°、60°、180°、300°、360°。证恒等式从较复杂一边化简；解方程先降次或提取公因式，化为一次因式，并记住 sin x = 0 在区间内有三个解，切勿漏去 0° 与 360°。
6常见错误 Mistakes
75 题快测 Quick check
Q1弧度是怎样定义的？180° 等于多少弧度？
Q2计算：用复角公式求 sin 75° 的值。
Q3计算：已知 sin A = 35（A 为锐角），求 sin 2A。
Q4计算：解 cos x = −12，其中 0° ≤ x ≤ 360°。
Q5证明恒等式的常用策略是什么？
8重点回顾 Recap
- 弧度制：180° = π，90° = π/2，换算只需记住这一条
- cosec x = 1/sin x、sec x = 1/cos x、cot x = 1/tan x，配合平方关系化简数式
- 复角公式展开两角和差；sin(A + B) 绝不等于 sin A + sin B
- 二倍角公式由复角公式令 B = A 而来；cos 2A 有三种可互换的写法
- 解三角方程先化为单一函数、按象限写齐所有解；角倍乘时范围也要倍大