二项式定理
进阶二项式定理把两项式的乘幂展开为以组合数为系数的多项式，通项公式更可在不必完全展开的情况下直接锁定指定项，是延伸单元处理高次展开式的核心工具。
- (a + b)ⁿ 展开共有 n + 1 项，第 r + 1 项为 C(n,r)a^(n−r)b^r
- 展开式系数排成帕斯卡三角形，每个系数就是组合数 C(n,r)
- 求指定项三步曲：写通项、按指数条件解 r、代入组合数计算
文体小知识：数学概念说明文——由逐项相乘的困境引入二项式定理，讲解帕斯卡三角形、组合数系数、通项公式与符号处理，是延伸单元二的重要代数工具课。
§课文原文 Passage
1两项式的乘方在代数中随处可见：平方差公式、立方公式都由它而来。次数是二或三时，逐项相乘还能应付；次数一旦升到十或以上，展开式有十多项，逐次相乘既费时又容易出错。数学家因此找到了一般规律，就是二项式定理：两项式的 n 次幂可以一次写成 n 加一项的和，各项系数整齐有序，完全不必逐次相乘。
2展开式的系数排成著名的帕斯卡三角形：每行两端都是一，中间每个数等于上一行相邻两数之和。举个例子：n 等于 5 的那一行是一、五、十、十、五、一，正好就是两项式五次方展开的系数；n 等于 4 的行是一、四、六、四、一。这些系数其实是组合数：由 n 件物件选出 r 件的组合数目，正好对应展开式中第 r 加一项的系数。
3完整地说，二项式定理指出：两项式的 n 次幂等于一列项的和，每项由三个因数相乘而成——组合数、第一个字母的递降次幂、第二个字母的递升次幂，两个指数相加恰好等于 n。举个例子：两项式的三次方展开共有四项，系数依次是一、三、三、一，一个字母的指数由三降至零，另一个由零升至三。
4通项公式是解题的利器：要求展开式中的指定项，不必写出整个展开式，只要写出第 r 加一项的一般形式，再按题目对指数的条件解出 r。举个例子：想知两项式的五次方展开中，某字母平方项的系数是多少，只需取 r 等于 2 的那一项，代入组合数、系数与指数，一行算式便有答案，毋须展开全部六项。
5本课与组合计数关系密切，也是延伸两个单元日后内容的桥梁：单元一的概率分布中，二项分布的公式与二项式定理形式相同；单元二的数学归纳法正可以用来证明这条定理。考试常见题型包括求指定系数、求常数项与判断某项是否存在，解题入口全部是通项公式，务必练至熟练。
1重点摘要 Summary
二项式定理把两项式的乘幂展开为以组合数为系数的多项式，通项公式更可在不必完全展开的情况下直接锁定指定项，是延伸单元处理高次展开式的核心工具。
2生字卡 Vocabulary
由两项组成的多项式，如 x + 2；其乘幂的展开是本课主题。
把二项式的正整数次幂展开为 n + 1 项之和的定理，各项系数为组合数。
把乘幂写成各项之和的结果；二项式 n 次幂的展开式共有 n + 1 项。
由各次展开式系数排成的三角形，每行两端为一，中间数等于上行相邻两数之和。
展开式中各项的系数，等于对应的组合数 C(n,r)。
由 n 件相异物件选出 r 件、不计次序的方法数，记作 C(n,r)。
展开式第 r + 1 项的一般形式：组合数 C(n,r) 乘 a 的 n − r 次方乘 b 的 r 次方。
项中字母前的数字因数；展开式中由组合数与数字系数共同决定。
展开式中不含字母（指数为零）的项；求它时令通项中字母的指数为零。
以希腊字母 Σ 表示一列数相加的记法，二项式定理可用它简洁地表达。
3逐步讲解 Steps
- 第一步：由逐项相乘到需要定理先看次数低的情形：二项式的平方展开有三项，立方展开有四项，都可靠乘法分配律逐项相乘得出。举个例子：(x + 2)² = x² + 4x + 4；再乘一次 (x + 2)，得 (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8。可是次数一旦上升到十，展开式有十一项，逐项相乘既费时又容易漏项。二项式定理用一条通式把所有项一次写齐，并且可以只计算题目要求的那一项，这正是它重要而必须熟练的原因。
- 第二步：帕斯卡三角形与系数规律把各次展开式的系数叠起来，就是帕斯卡三角形：每行两端是一，中间每个数等于上一行相邻两数之和。举个例子：n = 4 的行是 1、4、6、4、1，正好是 (1 + x)⁴ 展开的系数；n = 5 的行是 1、5、10、10、5、1。要留意三角形的行数由 0 开始数，第 n 行有 n + 1 个数。用三角形找系数适合次数小的题目，快捷又直观；次数大时，就要用组合数直接计算，避免数错行。
- 第三步：系数就是组合数帕斯卡三角形第 n 行第 r 个位置（由 0 数起）的数，等于组合数 C(n,r)，即由 n 件相异物件选出 r 件的方法数。举个例子：C(5,2) = 10，正对应第五行中间的 10；C(5,0) = C(5,5) = 1，对应行两端的 1。这并非巧合：展开二项式的 n 次幂时，每一项来自在 n 次分配中选出 r 个 b 与 n − r 个 a 的组合方式，选法数目自然是组合数，所以系数就是 C(n,r)。
- 第四步：写出二项式定理二项式定理：二项式 (a + b) 的 n 次幂（n 为正整数）等于各项之和，其中每一项为组合数 C(n,r) 乘 a 的 n − r 次方乘 b 的 r 次方，r 由 0 数到 n，故展开式共有 n + 1 项。举个例子：展开 (2 + x)³，各项为 C(3,0) × 2³（即 8）、C(3,1) × 2²x（即 12x）、C(3,2) × 2x²（即 6x²）、C(3,3) × x³（即 x³），合计 8 + 12x + 6x² + x³。写展开式时按 r 递增排列，指数一升一降，次序不可乱。
- 第五步：通项公式锁定指定项展开式中第 r + 1 项称为通项，公式为 T(r + 1) = C(n,r)a^(n−r)b^r。求指定项时，先写通项、再按指数条件解出 r。举个例子：求 (x² + 1/x)⁶ 展开式中不含 x 的项（常数项）：通项为 C(6,r) 乘 x 的 (12 − 3r) 次方，令指数为零，得 r = 4，该项为 C(6,4) = 15。全程只用了两行，完全不必展开整条式。这一技巧也用于求某次幂的系数、判断某项是否存在，是延伸试卷的必考工具。
- 第六步：展开 (1 + 2x)⁵ 求 x² 系数以经典题为例：展开 (1 + 2x)⁵。各项为 C(5,r) 乘 (2x) 的 r 次方：r = 0 时是 1；r = 1 时 C(5,1) × 2x，即 10x；r = 2 时 C(5,2) × (2x)²，即 10 × 4x² = 40x²；继续得 80x³、80x⁴ 与 32x⁵。所以 x² 的系数是 40。要特别小心：(2x)² 是 4x² 而不是 2x²，数字系数也要跟著自乘，这是最常见的失分位；写完可用首尾项核对：两端必定是 1 与 32，即数字系数的五次方。
- 第七步：符号与减号的处理当二项式含减号，例如 (2x − 3) 的乘幂，可把它看成 (2x + (−3))，通项中的 b 就是 −3，b 的 r 次方按 r 的奇偶决定正负。举个例子：展开 (x − 2)⁴ 时，各项符号依次为正、负、正、负、正；x² 的系数为 C(4,2) × (−2)² = 6 × 4 = 24。口诀：减号在前，奇数次幂带负、偶数次幂带正；展开式两端符号必为正，可用这一点快速检查。计算系数时把符号与数值分开处理，先算数值再配符号，出错机会大减。
5例题示范 Example
例题：（一）展开 (1 + 2x)⁵，并写出 x² 的系数；（二）用通项公式求 (x² + 1/x)⁶ 展开式中的常数项。
- （一）各项为 C(5,r)(2x)ʳ，r 由 0 至 5，系数依次 1、5、10、10、5、1
- 逐项计算：(1 + 2x)⁵ = 1 + 10x + 40x² + 80x³ + 80x⁴ + 32x⁵
- 所以 x² 的系数是 40（由 C(5,2) × 2² = 10 × 4 而来）
- （二）写通项：T(r + 1) = C(6,r)(x²)^(6−r)(1/x)ʳ = C(6,r)x^(12−3r)
- 令指数 12 − 3r = 0，得 r = 4，常数项 = C(6,4) = 15
- 答案：（一）(1 + 2x)⁵ = 1 + 10x + 40x² + 80x³ + 80x⁴ + 32x⁵，x² 的系数是 40。（二）常数项是 15。解题关键是先用通项写出第 r + 1 项，再由指数条件解出 r；含数字系数时紧记把系数一并自乘，例如 (2x)² = 4x²。
6常见错误 Mistakes
75 题快测 Quick check
Q1二项式定理中，(a + b)ⁿ 的展开式有多少项？各项系数由什么决定？
Q2计算：(1 + x)⁶ 展开式中 x³ 的系数是多少？
Q3计算：展开 (2 + x)³。
Q4计算：(x + 2)⁵ 展开式中 x² 的系数是多少？
Q5为什么可以用通项公式求指定项，而毋须完全展开？
8重点回顾 Recap
- (a + b)ⁿ 展开共有 n + 1 项，第 r + 1 项为 C(n,r)a^(n−r)b^r
- 展开式系数排成帕斯卡三角形，每个系数就是组合数 C(n,r)
- 求指定项三步曲：写通项、按指数条件解 r、代入组合数计算
- 数字系数要跟指数一起计算：(2x)² = 4x²；减号项按次幂奇偶定正负
- 通项公式是不完全展开而求指定系数、常数项的核心工具