离差的度量与标准分
基础平均值只反映集中趋势，离差才描述数据的分散程度：分布域、四分位数间距、方差与标准差各有用途；标准分再把原始分换算成相对位置，令不同科目的成绩可以公平比较。
- 离差描述数据的分散程度，与集中趋势并列为数据的两大特征
- 分布域 = 最大值 − 最小值；四分位数间距 = Q3 − Q1，对极端值较稳健
- 方差 = 偏差平方的平均；标准差 = 方差的正平方根，单位与原数据相同
文体小知识：数学概念说明文——讲解离差的概念，逐一介绍分布域、四分位数间距、方差与标准差，并以标准分把不同组别的表现换算成可公平比较的相对位置。
§课文原文 Passage
1两班测验的平均分可以完全相同，表现却大不相同：一班的分数集中在平均分附近，另一班则严重两极分化。描述一组数据，除了集中趋势，还需要离差，即数据偏离中心的分散程度。离差越小，数据越集中、越整齐；离差越大，数据越参差。只报平均值而不报离差，等于只讲了一半故事。
2最直观的离差度量是分布域，即最大值减最小值，计算快，但只由两个极端值决定，一个异常值便会令它严重失真。改良的办法是四分位数间距：把数据排序后分成四段，取中间一半数据的范围，即第三四分位数减第一四分位数，避开了两端的极端值。统计上常用框线图把五个关键数值画在一条线上，方便比较不同组别。
3方差与标准差是最常用的离差度量。计算方差时，先把每个数据减去平均值求偏差，再取偏差的平方平均；方差开平方就是标准差。取平方是为了令正负偏差不会互相抵消，同时放大远离中心的数据的影响。标准差与原数据单位相同，数值越大代表数据越分散；举个例子：分数越参差的班别，标准差越大。
4标准分又称 z 分数，把原始分换算成相对位置：先减去平均值，再除以标准差。标准分为零表示正好在平均值；为正表示高于平均，为负表示低于平均。举个例子：数学考 80 分、全班平均 65、标准差 10，标准分是 1.5；英文考 75 分、平均 60、标准差 5，标准分是 3。原始分英文较低，标准分却更高，相对表现反而更突出。
5对数据每项加同一常数，离差不变；乘同一正数，离差按比例改变。举个例子：全班每人加 5 分，分布域、方差与标准差都不变，因为数据只是整体平移；若每个分数加倍，标准差也加倍。掌握这两条规律，处理调分类题目便有章法。单元一在日后的正态分布课题中，会把标准分与各区间比例结合，本课的计算必须先练得纯熟。
1重点摘要 Summary
平均值只反映集中趋势，离差才描述数据的分散程度：分布域、四分位数间距、方差与标准差各有用途；标准分再把原始分换算成相对位置，令不同科目的成绩可以公平比较。
2生字卡 Vocabulary
数据偏离中心的分散程度，与集中趋势并列为数据的两大特征。
最大值减最小值；计算最快，但受极端值影响最大。
第三四分位数减第一四分位数，即中间一半数据的范围，对极端值较稳健。
把最小值、Q1、中位数、Q3 与最大值画在一条线上的图，方便比较多组数据，又称箱形图。
偏差平方的平均值，量度数据分散程度；等于标准差的平方。
方差的正平方根，与原数据单位相同；数值越大，数据越分散。
原始分减平均值再除以标准差所得的相对位置，零代表平均值水平。
全部数据相加再除以数据个数，是常用的集中趋势量度。
数据向中心集中的倾向，以平均值、中位数等描述。
一次观察或调查收集所得的一组数据。
3逐步讲解 Steps
- 第一步：为什么需要离差只看平均值会掩盖重要信息。举个例子：甲乙两组各五人，平均值同为 70，甲组分数是 68、69、70、71、72，人人贴近平均；乙组是 40、50、70、90、100，严重两极。教学上前者适合统一进度，后者则须分层支援。可见描述一组数据，除了平均值所代表的集中趋势，必须再报告分散程度，即离差，两者合起来才是完整图像；这是单元一统计部分的基本功，也是历年试卷的常见考点。
- 第二步：分布域与四分位数间距分布域等于最大值减最小值，计算最快。举个例子：数据 3、7、8、15、20 的分布域是 20 − 3 = 17。但它只由两端决定：若 20 变成 200，分布域暴涨至 197，其余数据却丝毫未变，可见它对异常值毫无抵抗力。四分位数间距则先排序、再取中间一半：IQR = Q3 − Q1。上述数据的 Q1 = 7、Q3 = 15，IQR = 8，极端值的影响大减。框线图把最小值、Q1、中位数、Q3、最大值五个关键数画在一条线上，两组数据一比便知谁较分散。
- 第三步：方差与标准差的计算方差计算分三步：先求平均值 μ；再算每个数据的偏差 x − μ；把偏差平方后取平均，得方差，方差的平方根就是标准差。举个例子：数据 2、4、6、8、10，平均值 6，偏差为 −4、−2、0、2、4，平方得 16、4、0、4、16，方差 = 40 ÷ 5 = 8，标准差 = √8 ≈ 2.83。取平方令正负偏差不会互相抵消，同时放大远离中心的数据的影响，所以标准差对极端值比四分位数间距敏感——这既是它能反映异常的优点，也是它易被异常值拉高的缺点。
- 第四步：用离差比较两组数据比较两组数据的表现，应同时看平均值与离差。举个例子：甲班五人得 60、65、70、75、80，平均值 70，偏差平方和 = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250，方差 = 50，标准差 ≈ 7.1；乙班五人得 55、65、70、75、85，平均值同样 70，偏差平方和 = 225 + 25 + 0 + 25 + 225 = 500，方差 = 100，标准差 = 10。两班平均分相同，但甲班标准差较小，成绩较整齐；乙班较分散。答题时要写出「平均值相同，而甲班标准差较小，故表现较稳定」的完整结论，只写数字不写结论会失分。
- 第五步：标准分的定义与计算标准分 z = (x − μ)/σ，把「离平均有多远」除以「一般偏离有多远」，变成无单位的相对位置。举个例子：数学 80 分，平均 65、标准差 10，z = (80 − 65)/10 = 1.5，即高于平均 1.5 个标准差；英文 75 分，平均 60、标准差 5，z = (75 − 60)/5 = 3。原始分英文较低，标准分却更高，相对表现更好。跨科目、跨班别比较，用标准分才公平；学校调整校内成绩名次时，正是采用这套换算，延伸试卷亦每年必考。
- 第六步：加常数与乘常数的影响对数据每项加同一常数 k：平均值加 k，但每个偏差 x − μ 保持不变，所以方差与标准差不变。乘以同一正数 k：平均值与标准差都乘 k，方差乘 k 的平方。举个例子：全班每人加 5 分，标准差不变；若把摄氏温度转为华氏，即乘 95 再加 32，标准差变成原来的 95 倍，方差变成 8125 倍。做题时先判断是平移还是缩放，再套规律；例如「每人减 3 分后标准差是多少」，答案是不变，许多人误答减少，这正是考题设下的陷阱。
- 第七步：离差在现实中的应用离差与标准分在现实中用途广泛。举个例子：品质管制用标准差衡量生产线的稳定度，螺丝直径的标准差越小，产品越一致，不良率越低；气象报告比较两个城市的日温差，其实就是分布域的应用；学校用标准分比较学生在不同科目的相对表现，作为升留班或颁发奖学金的依据。单元一在正态分布课题中，会把标准分与 68–95–99.7 规则结合，用来估计各区间所占比例；先把本课的方差与标准分计算练到纯熟，日后学习便水到渠成。
5例题示范 Example
例题：甲、乙两班各 5 人参加同一测验。甲班分数：60、65、70、75、80；乙班分数：55、65、70、75、85。（一）求两班的平均值与标准差；（二）比较两班表现；（三）小华在甲班得 80 分，小强在乙班得 85 分，用标准分判断谁的相对表现较佳。
- （一）甲班平均值 = (60 + 65 + 70 + 75 + 80) ÷ 5 = 70；乙班平均值 = (55 + 65 + 70 + 75 + 85) ÷ 5 = 70
- 甲班偏差平方和 = (−10)² + (−5)² + 0² + 5² + 10² = 250，方差 = 250 ÷ 5 = 50，标准差 = √50 ≈ 7.1
- 乙班偏差平方和 = (−15)² + (−5)² + 0² + 5² + 15² = 500，方差 = 500 ÷ 5 = 100，标准差 = 10
- （二）两班平均值同为 70，但甲班标准差较小，故甲班成绩较整齐稳定，乙班较分散
- （三）小华的标准分 = (80 − 70)/√50 ≈ 1.41；小强的标准分 = (85 − 70)/10 = 1.5；因为 1.5 > 1.41，小强的相对表现较佳
- 答案：甲、乙两班平均值同为 70 分；甲班标准差约 7.1，乙班标准差 10，故甲班较整齐。小华标准分约 1.41，小强标准分 1.5，小强相对表现较佳。答题时先写平均值与标准差的计算过程，再以「平均值相同而标准差较小」表述结论；跨班比较宜用标准分，而非直接比较原始分。
6常见错误 Mistakes
75 题快测 Quick check
Q1什么是离差？为什么只有平均值不足以描述一组数据？
Q2计算：求数据 4、8、10、14、14 的平均值与方差。
Q3计算：数据 2、4、6、8、10 的标准差是多少？
Q4计算：某科平均 62、标准差 8，小婷得 78 分，求她的标准分。
Q5对数据每项乘以 3 后，平均值、方差、标准差怎样变化？
8重点回顾 Recap
- 离差描述数据的分散程度，与集中趋势并列为数据的两大特征
- 分布域 = 最大值 − 最小值；四分位数间距 = Q3 − Q1，对极端值较稳健
- 方差 = 偏差平方的平均；标准差 = 方差的正平方根，单位与原数据相同
- 标准分 z = (x − μ)/σ，可跨组别、跨科目公平比较相对表现
- 每项加常数离差不变；每项乘正数 k，标准差乘 k、方差乘 k²