排列與組合及進階概率
進階先分清講究次序的排列與不計次序的組合，用排列數與組合數公式計數；概率方面由加法與乘法定律推進到條件概率，配合溫氏圖與樹形圖，就能拆解進階概率應用題。
- 分類用加法法則、分步用乘法法則，是一切計數題的根基
- 排列 nPr = n!/(n − r)! 講次序；組合 nCr = n!/[r!(n − r)!] 不計次序；nPr = nCr × r!
- 「必須相鄰」用捆綁法；「不得相鄰」用總數減相鄰數或插空法
文體小知識：數學概念說明文——由計數的加法與乘法法則出發，建立排列與組合的概念及記法，再以集合記法、溫氏圖、樹形圖與條件概率處理進階概率問題。
§課文原文 Passage
1計數有兩條基本法則：完成一件事若可分為幾類方法，各類互不重疊，總方法數用加法；完成一件事若須分幾個步驟依次進行，總方法數用乘法。舉個例子：由香港到廣州可搭直通車或直達巴士，兩者各有 3 班與 5 班，共有 8 個選擇；若行程是先到深圳再到廣州，深圳有 4 班、廣州有 5 班，便有 20 種走法。
2從 n 件相異物件選出 r 件排成一列，次序要緊，方法數稱為排列；若只選不排、不計次序，方法數稱為組合。兩者以階乘計算，關係是排列數等於組合數乘以 r 的階乘，因為每個組合內部可以再排出 r 的階乘種次序。公式細節留待步驟展開，這裏先建立最重要的判斷意識：動筆前先問一句，次序要不要緊。
3概率方面，加法定律說「甲或乙發生」的概率，等於甲的概率加乙的概率，再減去「甲與乙同時發生」的概率；若兩事件互斥，即不可能同時發生，最後一項為零，概率直接相加。乘法定律則說獨立事件同時發生的概率相乘。舉個例子：擲一枚公平骰子，擲得二或三的概率是六分之一加六分之一，即三分之一；擲兩次都擲得六的概率是六分之一自乘，即三十六分之一。
4條件概率處理「已知某事件已發生時，另一事件發生的概率」。樹形圖是處理條件概率的利器：每層分支代表一步試驗，分支上寫該步的概率；沿路徑相乘，便得該結果的概率。舉個例子：袋中有 4 紅 3 白球，不還原地抽兩球，第一球紅的概率是 47；若第一球已紅，袋中剩 3 紅 3 白，第二球紅的概率變成 12。
5排列組合與概率常合併出題：先用組合數數出有利結果與全部結果的數目，再相除得概率。答題時先判斷「次序是否要緊」：抽獎名次要緊用排列，委員會成員不計次序用組合；再判斷「有無放回」：不放回抽樣各步概率會改變，須用條件概率或樹形圖逐步追蹤。這兩個判斷做對，題目便成功了大半，餘下的只是細心計算。
1重點摘要 Summary
先分清講究次序的排列與不計次序的組合，用排列數與組合數公式計數；概率方面由加法與乘法定律推進到條件概率，配合溫氏圖與樹形圖，就能拆解進階概率應用題。
2生字卡 Vocabulary
從 n 件相異物件選出 r 件並排次序的方法數，記作 nPr。
從 n 件相異物件選出 r 件而不計次序的方法數，記作 nCr。
記號 n! = n × (n − 1) × … × 1，規定 0! = 1；階乘是排列組合公式的基礎。
一件事若可分幾類互不重疊的方法完成，總方法數為各類方法數之和。
一件事若須分幾個步驟依次完成，總方法數為各步驟方法數之積。
不可能同時發生的事件；其並集概率等於各自概率之和。
一事件的發生與否不影響另一事件概率的事件；同時發生的概率相乘。
在已知事件 B 發生的前提下事件 A 發生的概率，記作 P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。
把多步試驗畫成逐層分支的圖，分支上標概率；沿路徑相乘、同結果相加。
以重疊圓表示事件交並關係的圖，配合集合記法 A∩B、A∪B、A′ 處理概率題。
3逐步講解 Steps
- 第一步：加法法則與乘法法則計數第一步是分清「分類」還是「分步」。分類用加法：各類方法互不重疊、任選一類即可完成整件事，總數相加。分步用乘法：每個步驟都要各做一次選擇、缺一不可，總數相乘。舉個例子：用 1、2、3 三個數字組成不重複的兩位數，十位有 3 種選擇、個位剩 2 種，共 3 × 2 = 6 個，這是分步；若問「兩位數中含數字 1 的有多少個」，便要按含 1 的位置分類討論再相加。動筆前先畫出步驟或類別，是所有計數題的第一步。
- 第二步：排列的概念與記法從 n 件相異物件選出 r 件排成次序，方法數記作 nPr，公式 nPr = n!/(n − r)!。直觀理解：第一個位置有 n 個選擇，第二個位置剩 n − 1 個，如此類推共 r 個位置。舉個例子：8 名跑手爭奪金、銀、銅牌，次序要緊，方法數 = 8P3 = 8 × 7 × 6 = 336。階乘記號 n! = n × (n − 1) × … × 1，並規定 0! = 1。留意「相鄰」類題目：把必須相鄰的物件捆成一個單位再與其他物件排列，最後乘上單位內部的排列數，這是排列題最常用的技巧。
- 第三步：組合的概念與記法只選不排用組合：nCr = n!/[r!(n − r)!]。判斷口訣：「選出、組隊、委員會、抽獎不排名」多屬組合；「排隊、名次、密碼、路線次序」多屬排列。舉個例子：10 名學生選 3 人當幹事、不分工，方法數 = 10C3 = 120；若 3 人分別任主席、文書、財政，職位要緊，就要乘上 3! = 6，即 720 種。關係式 nPr = nCr × r! 說明排列數永遠不小於對應的組合數，兩條公式可以互相驗算；計錯時，先檢查是不是把次序搞錯了。
- 第四步：排列組合應用題的典型技巧常見技巧有三：捆綁法處理「必須相鄰」；先排其他物件再插空，處理「不得相鄰」；分組分配處理「按名額選人」。舉個例子：6 人排一行、其中甲乙必須相鄰：把甲乙捆成一體，與其餘 4 人共 5 個單位排列，得 5! = 120；再乘甲乙內部互換的 2! = 2，共 240 種。若改問「甲乙不得相鄰」，用總數減相鄰數：6! − 240 = 720 − 240 = 480 種。驗算方法：換一種數法重算一次，例如用插空法核對 480，答案一致才落筆作答。
- 第五步：集合記法、溫氏圖與概率加法定律用集合記法表示事件：A 與 B 同時發生記 A∩B，至少一個發生記 A∪B，A 不發生記 A′，且 P(A′) = 1 − P(A)。加法定律：P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)，減去的正是被算了兩次的重疊部分；互斥事件 A∩B 為空集，概率直接相加。舉個例子：班上 40 人中 25 人參加數學比賽、15 人參加物理比賽、8 人兩者皆參加，則至少參加一項的有 25 + 15 − 8 = 32 人；溫氏圖一畫，三個區域的人數一目了然，這類題目在延伸試卷常以文字題形式出現。
- 第六步：獨立事件與條件概率若 P(A∩B) = P(A) × P(B)，稱 A 與 B 獨立：一個發生與否不影響另一個的概率。條件概率 P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，是在 B 已發生的前提下重新計算 A 的機會。舉個例子：擲一枚公平骰兩次，第二次擲得 6 的概率不因第一次結果而改變，兩次獨立；但同一副撲克不還原地抽兩張，第二張是 A 的概率會因第一張是否 A 而改變，兩者不獨立，須用條件概率處理。判斷獨立不能憑感覺，要用等式驗證；有放回是獨立，不放回一般不獨立。
- 第七步：樹形圖與進階概率應用樹形圖把多步試驗畫成分支：第一層寫第一步各結果的概率，第二層寫「已知第一步結果」下第二步的條件概率；某條路徑的概率沿路相乘，再把符合題意的路徑概率相加。舉個例子：袋中 4 紅 3 白，不還原地抽兩球，求「兩球同色」：路徑紅紅為 47 × 36 = 27，路徑白白為 37 × 26 = 17，合計 37。做題流程：先判斷有無放回，再畫圖標概率，最後按題目所求「逐路徑相乘、同結果相加」；若題目問「已知第二球紅，求第一球紅」的反向條件概率，把各路徑概率列表後再相比即可。
5例題示範 Example
例題：（一）6 名學生排一行拍照，其中甲、乙必須相鄰，求排法數目；（二）從 4 男 3 女中選 3 人組成委員會，求全部為女生的選法數目；（三）袋中有 4 紅 3 白球，不還原地先後抽兩球，已知第一球是紅色，求第二球也是紅色的概率。
- （一）把甲乙捆成一個單位，與其餘 4 人共 5 個單位排列：5! = 120 種
- 甲乙內部可互換：2! = 2 種，故排法共 120 × 2 = 240 種
- （二）選人不計次序，用組合：全部為女生即從 3 名女生中選 3 人，3C3 = 1 種
- （三）「已知第一球是紅」屬條件概率：此時袋中尚餘 3 紅 3 白共 6 球
- 故 P(第二球紅 | 第一球紅) = 36 = 12；若再求兩球皆紅的概率，則為 47 × 12 = 27
- 答案：（一）240 種。（二）1 種（三名女生全選）。（三）P = 12；兩球皆紅的概率為 27。解題關鍵：「必須相鄰」用捆綁法；選人不計次序用組合；「已知……」屬條件概率，分子與分母都要按已知條件縮小範圍，樹形圖逐段相乘即可核對。
6常見錯誤 Mistakes
75 題快測 Quick check
Q1排列與組合的分別是什麼？兩者有什麼關係？
Q2計算：7 名學生中選 4 人參加辯論比賽，有多少種選法？
Q3計算：5 人排一行拍照，有多少種排法？
Q4計算：擲一枚公平骰，擲得偶數或 5 的概率是多少？
Q5計算：袋中 5 紅 2 白，不還原地抽兩球，求兩球皆白的概率。
8重點回顧 Recap
- 分類用加法法則、分步用乘法法則，是一切計數題的根基
- 排列 nPr = n!/(n − r)! 講次序；組合 nCr = n!/[r!(n − r)!] 不計次序；nPr = nCr × r!
- 「必須相鄰」用捆綁法；「不得相鄰」用總數減相鄰數或插空法
- 加法定律 P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)；互斥事件的重疊項為零
- 條件概率 P(A|B) = P(A∩B)/P(B)；樹形圖逐段相乘、符合題意的路徑相加