二项分布与泊松分布
基础二项分布描述固定次数独立试验中的成功次数，期望值是试验次数乘成功概率；泊松分布描述单位时间内随机事件的发生次数，期望值与方差同为平均率。认清情境、选对分布，概率应用题便有固定解法。
- 离散随机变数的概率分布列出每个取值的概率，全部概率之和为 1
- 二项分布 X ~ B(n, p)：P(X = r) = C(n,r)p^r(1 − p)^(n − r)、E(X) = np、Var(X) = np(1 − p)
- 泊松分布 X ~ Po(λ)：P(X = r) = e^(−λ)λ^r/r!、E(X) = Var(X) = λ
文体小知识：数学概念说明文——由离散随机变数与伯努利试验出发，建立二项分布与泊松分布的概率公式、期望值与方差，并比较两种分布各自的适用情境。
§课文原文 Passage
1许多试验只有两个结果：成功或失败，例如掷硬币、射门命中、产品合格。这类单次试验称为伯努利试验。把同一试验独立重复 n 次，成功次数是一个离散随机变数：它取每个非负整数值的机会不同，把各个取值的概率列清楚，就是它的概率分布；全部概率相加必须等于一。
2统计学把这个成功次数的分布称为二项分布。它的概率公式有三个因数：组合数、成功概率的 r 次方、失败概率的其余次方；组合数部分正好数出「r 次成功发生在哪几次」的方式数目，公式形式也与二项式定理互相呼应。举个例子：掷公平硬币五次，恰得两次正面的概率，就是组合数 10 乘以二分之一自乘五次，即 516。
3二项分布的期望值等于试验次数乘成功概率，方差等于试验次数乘成功概率乘失败概率，直接套用、不必证明。举个例子：掷公平硬币一百次，正面次数的期望值是 50，方差是 25，标准差是 5。期望值告诉我们平均而言成功多少次，方差则反映围绕期望值的波动幅度；成功概率越接近零或一，波动越小，结果越稳定。
4另一类情境没有固定的试验次数，只知道事件在单位时间内平均发生若干次，例如客服中心每小时接获的查询、路口每分钟经过的车辆。此时发生次数服从泊松分布，概率公式是：先取 e 的负 λ 次方，乘以 λ 的 r 次方，再除以 r 的阶乘，其中 λ 是平均发生率，e 约等于 2.718。泊松分布最特别之处，是期望值与方差相等，同为 λ。
5选择分布要看情境：有固定试验次数、每次成功概率相同的独立试验，用二项分布；只知单位时间平均发生率、事件随机独立发生，用泊松分布。举个例子：掷骰 10 次数「6」的次数属前者；保险公司估计每月理赔宗数属后者。两种分布在延伸单元的试卷中经常同场出现，公式、期望值与方差必须准确背写，临场才能一步到位。
1重点摘要 Summary
二项分布描述固定次数独立试验中的成功次数，期望值是试验次数乘成功概率；泊松分布描述单位时间内随机事件的发生次数，期望值与方差同为平均率。认清情境、选对分布，概率应用题便有固定解法。
2生字卡 Vocabulary
把随机试验的各种结果对应到数值的变量，常用大写字母表示。
只取有限个或可数无限个值的性质；离散随机变数的概率可以逐个列出。
列出随机变数每个取值及其概率的表或公式，全部概率之和为一。
只有成功与失败两种结果的单次试验，成功概率记作 p。
n 次独立伯努利试验中成功次数的分布，记作 X ~ B(n, p)。
描述单位时间（或空间）内随机事件发生次数的分布，记作 X ~ Po(λ)。
随机变数取值以概率加权的平均，即长期平均结果；E(X) = Σ x P(X = x)。
量度随机变数围绕期望值波动幅度的数值；本课两种分布各有现成公式。
决定分布形状的常数：二项分布有 n 与 p，泊松分布只有 λ。
事件在单位时间（或空间）内平均发生的次数，是泊松分布的唯一参数。
3逐步讲解 Steps
- 第一步：离散随机变数与概率分布随机变数是把试验结果对应到数值的变量；只取有限个或可数无限个值的，称为离散随机变数。描述它要用概率分布：列出每个取值及其概率，全部概率相加等于 1。举个例子：掷一枚公平骰，点数的分布是 1 至 6 各取概率 16；若求「至少 5 点」的概率，把 X = 5 与 X = 6 的概率相加得 13。概率分布是本课两种分布的共同框架：先确认分布，才能求期望值与方差，这个次序不要颠倒。
- 第二步：伯努利试验与二项情境伯努利试验指只有成功与失败两种结果的一次试验，成功概率记 p。二项分布适用的四个条件：试验次数 n 固定；每次结果只有两种；各次互相独立；每次成功概率相同。举个例子：掷公平骰 10 次数「6」的次数，n = 10、p = 16，四个条件全部满足，故 X ~ B(10, 16)。反例：从一副扑克不还原地抽 5 张数 A 的张数，每次成功概率随抽牌而变，不满足条件，不能用二项分布，须另用组合计数处理。套公式前先核对四个条件，是这一课的第一守则。
- 第三步：二项分布的概率公式若 X ~ B(n, p)，则 P(X = r) = C(n,r)p^r(1 − p)^(n − r)，其中 r 可取 0、1、2、…、n。三个因数各有意义：C(n,r) 数出「r 次成功发生在哪几次」的方式数；p^r 是 r 次成功的概率；(1 − p)^(n − r) 是其余 n − r 次失败的概率。举个例子：掷公平硬币 5 次恰得 2 次正面，P(X = 2) = C(5,2)(12)²(12)³ = 1032 = 516。遇到「至少」「至多」的问法，把符合条件的各项概率逐个相加，或用一减补事件，千万不要只算一项。
- 第四步：二项分布的期望值与方差若 X ~ B(n, p)，则期望值 E(X) = np，方差 Var(X) = np(1 − p)，试卷不要求证明，直接套用。举个例子：命中率 0.7 的球员主射 12 球，命中次数 X ~ B(12, 0.7)，E(X) = 12 × 0.7 = 8.4，Var(X) = 12 × 0.7 × 0.3 = 2.52，标准差约 1.59。答题时若问「估计平均命中次数」，答期望值 8.4；问「波动大小」才涉及方差。留意 p 越接近 0 或 1，(1 − p) 或 p 越小，方差越小，命中次数越稳定，这与直觉一致。
- 第五步：泊松分布的概念与公式若随机事件在单位时间（或空间）内平均发生 λ 次、各次独立，则发生次数 X ~ Po(λ)，概率公式为 P(X = r) = e^(−λ)λ^r/r!，其中 r 可取 0、1、2、…，没有上限。e ≈ 2.718，计算时用计算机的 e 的幂功能。举个例子：售票处每小时平均接到 3 个查询，X ~ Po(3)，P(X = 2) = e^(−3) × 3²/2! ≈ 0.224。分母的阶乘令大 r 值的概率迅速变小，所以「次数远超平均」的情况越来越罕见；公式中 e 的指数永远带负号，抄错符号是最常见的失分位。
- 第六步：泊松分布的期望值与方差泊松分布的特点是期望值与方差都等于 λ：E(X) = λ、Var(X) = λ，一个参数决定整个分布，这在所有常见分布中独一无二。举个例子：网站每分钟平均收到 8 个请求，X ~ Po(8)，期望值与方差都是 8，标准差为 √8 ≈ 2.83。实务上若数据的均值与方差相差很远，泊松模型便未必合适。判断题也有讯号：题目只给「平均每小时 3 次」一个参数，暗示泊松情境；若同时给试验次数与成功概率两个数，则指向二项分布，先认清再动笔。
- 第七步：两种分布的比较与应用选分布三问：有没有固定的试验次数 n？每次是否独立、成功概率相同？已知的是 n 与 p，还是单位时间平均率 λ？举个例子：10 条多项选择题全靠乱猜，答对题数 X ~ B(10, 14)，E(X) = 2.5；快餐店每小时平均 12 名顾客，到达人数 Y ~ Po(12)，E(Y) = Var(Y) = 12。二项分布的「至少」题把各项相加即可；泊松的「至少」题若项数太多，用 1 减去补事件（X = 0 至 r − 1 各项之和）计算，例如 P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2)，三项而已，快捷且不易漏。
5例题示范 Example
例题：（一）把一枚公平骰子掷 10 次，设 X 为掷得「6」的次数。写出 X 的分布，并求 P(X ≥ 8)。（二）某客服中心每小时平均接获 3 个查询，设 Y 为每小时查询数目，且 Y ~ Po(3)。求 P(Y = 2)，并写出 Y 的期望值与方差。
- （一）每次掷得 6 的概率 p = 16，共 10 次独立试验，故 X ~ B(10, 16)
- 写出各项：P(X = 8) = C(10,8)(16)⁸(56)²、P(X = 9) = C(10,9)(16)⁹(56)、P(X = 10) = (16)¹⁰
- 三项相加：P(X ≥ 8) = (45 × 25 + 10 × 5 + 1)/6¹⁰ = 117660466176 ≈ 1.94 × 10⁻⁵
- （二）P(Y = 2) = e^(−3) × 3²/2! = (92)e^(−3) ≈ 0.224
- Y 的期望值 E(Y) = λ = 3；方差 Var(Y) = λ = 3
- 答案：（一）X ~ B(10, 16)，P(X ≥ 8) ≈ 0.0000194，即约十万分之二，属极罕见事件。（二）P(Y = 2) ≈ 0.224，E(Y) = Var(Y) = 3。答题格式：先写分布记法 B(n, p) 或 Po(λ)，再写公式、代入数字、用计算机求值；「至少」题逐项相加或用补事件，切勿只算一项。
6常见错误 Mistakes
75 题快测 Quick check
Q1二项分布 B(n, p) 适用的条件是什么？
Q2计算：掷公平硬币 6 次，恰得 4 次正面的概率是多少？
Q3计算：若 X ~ B(20, 0.2)，求 E(X) 与 Var(X)。
Q4计算：若 Y ~ Po(2)，求 P(Y = 0)。
Q5什么情境应采用泊松分布？它的期望值与方差有什么关系？
8重点回顾 Recap
- 离散随机变数的概率分布列出每个取值的概率，全部概率之和为 1
- 二项分布 X ~ B(n, p)：P(X = r) = C(n,r)p^r(1 − p)^(n − r)、E(X) = np、Var(X) = np(1 − p)
- 泊松分布 X ~ Po(λ)：P(X = r) = e^(−λ)λ^r/r!、E(X) = Var(X) = λ
- 选分布看情境：固定次数独立试验用二项分布；单位时间平均率用泊松分布
- 「至少」题把各项相加，或用 1 减补事件，快捷且不漏项