數系與根式
基礎數系由自然數、整數、有理數層層擴展至實數，無理數與有理數的分界在於能否寫成整數之比；掌握根式性質與分母有理化，便能化簡延伸課程中常見的無理數式。
- 有理數可寫成兩個整數之比；無理數的小數無限不循環；兩者合稱實數
- √(ab) = √a × √b、√(a/b) = √a/√b（a、b 為正數），是化簡根式的依據
- 化簡根式先抽出最大的平方因數；最簡根式才看得出同類關係並可合併
文體小知識：數學概念說明文——由數系的分層講起，說明有理數與無理數的分別，再講解根式的化簡與分母有理化，是延伸單元二的代數基礎課。
§課文原文 Passage
1數系是數學的地基。最基本的是自然數，即一、二、三這樣用來點算的數；加入零與負數後，擴展為整數。整數之中，能寫成兩個整數之比的數統稱有理數，例如二分之一、負四分之三；整數、有限小數與循環小數其實都屬於有理數，因為它們統統可以化成分數。
2並非所有數都能寫成整數之比。舉個例子：正方形的邊長為一時，對角線的長度是二的平方根，約等於一點四一四二，小數位無限延續且不循環，無論如何都不能寫成分數，這類數稱為無理數；圓周率也是著名的無理數。有理數與無理數合稱實數，實數與數軸上的點一一對應，共同填滿整條數軸。
3無理數常用根號表示，含根號的數式稱為根式。根式運算有兩條重要性質：乘積的平方根等於各因數平方根的乘積；商的平方根等於分子平方根除以分母平方根。舉個例子：48 可寫成 16 乘 3，所以 48 的平方根等於 16 的平方根乘以 3 的平方根，即四倍根號三。化簡後被開方數不含平方因數的根式，稱為最簡根式。
4根號相同的根式可以像合併同類項一樣合併。舉個例子：根號 48 加根號 27 減根號 12，三者化簡後分別是四倍根號三、三倍根號三與二倍根號三，合併得五倍根號三。開始時三個根式看似互不相干，化成最簡根式後便現出同類的身分，這正是先化簡再運算的價值所在。
5當分母含有根號時，通常要把分母化成不含根號，這個過程稱為有理化分母。舉個例子：分母是根號五減根號二時，分子分母同乘根號五加根號二，分母按平方差變成五減二，即三。兩個只差中間正負號的根式數式互為共軛，共軛兩式相乘時根號部分互相抵消，只剩有理數，這是延伸課程中經常使用的技巧。
1重點摘要 Summary
數系由自然數、整數、有理數層層擴展至實數，無理數與有理數的分界在於能否寫成整數之比；掌握根式性質與分母有理化，便能化簡延伸課程中常見的無理數式。
2生字卡 Vocabulary
把數按性質分層的體系：自然數、整數、有理數、無理數與實數逐層擴展。
能寫成兩個整數之比（分數）的數；整數、有限小數與循環小數都是有理數。
不能寫成整數之比的數，小數展開無限且不循環，如二的平方根、圓周率。
有理數與無理數的統稱，與數軸上的點一一對應。
含有根號的數式；開方不盡的平方根是常見的無理數表示法。
被開方數不含平方因數、分母不含根號的根式，是根式運算的標準答案形式。
化簡後根號內數值相同的根式，可以用係數相加減合併。
分子分母同乘適當數式，把分母化成不含根號的過程。
與原式只差中間正負號的數式，如根號五加根號二與根號五減根號二；相乘時用平方差只剩有理數。
小數位按固定樣式不斷重複的小數，必可化成分數，故屬有理數。
3逐步講解 Steps
- 第一步：數系的分層結構認識數系要由最基本的層次說起。自然數是用來點算的數；加入零和負數後擴展為整數；兩個整數的比構成有理數，整數、有限小數與循環小數都是有理數。舉個例子：0.75 可以寫成四分之三，0.333 一類循環小數可以寫成三分之一，所以兩者都是有理數；判別標準只有一條——能否寫成兩個整數之比。做題時若問某數屬於哪一類，就按這條定義逐層檢查，先看是不是整數，再看能否寫成分數，便不會混淆。
- 第二步：無理數與實數不能寫成兩個整數之比的數是無理數，它們的小數展開無限且不循環。舉個例子：2 的平方根約等於 1.41421356，小數位永遠不循環，故是無理數；圓周率約等於 3.14159，同樣是無理數。判斷時不能只看小數開頭：1.414 本身是有限小數，屬於有理數，它只是 2 的平方根的近似值，兩者不能畫上等號。有理數與無理數合稱實數，實數與數軸上的點一一對應——每一個實數對應數軸上一點，每一點對應一個實數——這是日後學習函數與極限的基礎。
- 第三步：根式的兩條性質根式運算有兩條基本性質：乘積的平方根等於各因數平方根的乘積；商的平方根等於分子平方根除以分母平方根。用文字說，就是根號內相乘或相除，可以先分別開方再乘除。舉個例子：36 的平方根可以看作 4 的平方根乘 9 的平方根，即 2 乘 3 等於 6；2549 的平方根，等於 25 的平方根除以 49 的平方根，即 57。這兩條性質是把大數開方化小的關鍵，計算時先在被開方數中找平方因數，例如 4、9、16、25、36、49，抽出來開方即可。
- 第四步：化簡根式與最簡形式化簡根式的標準做法，是把根號內的數分解出最大的平方因數再開方。舉個例子：化簡根號 72，72 等於 36 乘 2，36 的平方根是 6，所以根號 72 等於六倍根號二。被開方數不含平方因數、分母不含根號的根式稱為最簡根式，延伸單元的答案一般要求寫成最簡形式，因為最簡形式才容易比較大小與合併運算。舉個例子：根號 8 與根號 50 表面不同，化簡後分別是二倍根號二與五倍根號二，同類關係一目了然；若只化到一半，例如把根號 8 寫成二倍根號二以外的形式，合併時便會出錯。
- 第五步：合併同類根式化成最簡根式後，根號內相同的根式就是同類根式，可以像合併同類項一樣用係數相加減。舉個例子：化簡根號 48 加根號 27 減根號 12。根號 48 等於四倍根號三，根號 27 等於三倍根號三，根號 12 等於二倍根號三，於是原式等於四加三減二倍根號三，即五倍根號三。要留意根號內不同的根式不能直接合併：根號二加根號三不能寫成根號五，正如二個蘋果加三個橙不等於五個蘋果；遇到不同類根式，寫到最簡已經是終點，不要強行合併。
- 第六步：分母有理化分母含根號的分數不利於再運算與比較，通常要把分母化成有理數，這個步驟稱為有理化分母，做法是分子分母同乘同一個數式，保持分數的值不變。舉個例子：3/√5，分子分母同乘根號五，得 3√55，分母變成整數。若分母是兩項數式，如 1/(√5 − √2)，就要乘以它的共軛式根號五加根號二，分母按平方差變成五減二等於三，分子變成根號五加根號二，整條分數便化簡完成。答題時寫出這一步乘法，是延伸試卷的標準得分位。
- 第七步：共軛根式的威力兩個只有中間符號不同的根式數式互為共軛，例如根號五加根號二與根號五減根號二。共軛兩式相乘時應用平方差公式，根號部分完全抵消，只剩有理數。舉個例子：(√7 + √3)(√7 − √3) 等於 7 減 3 等於 4；再如 (1 + √2)(1 − √2) 等於 1 減 2 等於負一。這一招用途極廣：化簡分母為兩項根式的分數、比較根式大小、以至日後在極限題中把分子有理化，都靠共軛式。練習時可以把每條題目都乘一次共軛驗算，務求看到兩項根式便即時想到乘誰。
5例題示範 Example
例題：（一）化簡 √48 + √27 − √12；（二）化簡 1/(√5 − √2)。
- （一）先化簡各根式：√48 = √(16 × 3) = 4√3；√27 = √(9 × 3) = 3√3；√12 = √(4 × 3) = 2√3
- 合併同類根式：原式 = 4√3 + 3√3 − 2√3 = (4 + 3 − 2)√3 = 5√3
- （二）分子分母同乘共軛式：1/(√5 − √2) = (√5 + √2)/[(√5 − √2)(√5 + √2)]
- 分母用平方差展開：(√5 − √2)(√5 + √2) = (√5)² − (√2)² = 5 − 2 = 3
- 所以 1/(√5 − √2) = (√5 + √2)/3
- 答案：（一）√48 + √27 − √12 = 5√3。（二）1/(√5 − √2) = (√5 + √2)/3。答題時先把每個根式化成最簡根式再合併；有理化時分子分母必須同乘共軛式，並用平方差核對分母確實變成有理數。
6常見錯誤 Mistakes
75 題快測 Quick check
Q1什麼是有理數？什麼是無理數？各舉一例。
Q2計算：化簡 √50。
Q3計算：化簡 √32 + √18。
Q4計算：有理化 6/√3。
Q5為什麼有理化分母時，分子分母要同乘同一數式？
8重點回顧 Recap
- 有理數可寫成兩個整數之比；無理數的小數無限不循環；兩者合稱實數
- √(ab) = √a × √b、√(a/b) = √a/√b（a、b 為正數），是化簡根式的依據
- 化簡根式先抽出最大的平方因數；最簡根式才看得出同類關係並可合併
- 分母有理化：分子分母同乘分母的共軛式，用平方差使分母變有理數
- 驗算根式可用平方還原：把答案平方，看是否等於原被開方數