續三角學
基礎延伸單元二把三角學推進一層：以弧度量角，新增餘割、正割、餘切三個函數，並用複角與二倍角公式證明恆等式、化簡數式與解三角方程，為日後的微積分鋪路。
- 弧度制：180° = π，90° = π/2，換算只需記住這一條
- cosec x = 1/sin x、sec x = 1/cos x、cot x = 1/tan x，配合平方關係化簡數式
- 複角公式展開兩角和差；sin(A + B) 絕不等於 sin A + sin B
文體小知識：數學概念說明文——由弧度法與三個倒數函數說起，重點講解複角公式與二倍角公式，並示範恆等式證明與在零至三百六十度區間解三角方程。
§課文原文 Passage
1必修課程用度數量角，一個直角是九十度；延伸課程則引入弧度：在一個圓中，弧長恰好等於半徑的圓心角定為一弧度。半圓的弧長是圓周率乘半徑，所以一百八十度等於圓周率弧度。弧度令三角函數的公式變得簡潔，是延伸單元二處理三角問題的標準量角單位。
2在正弦、餘弦、正切之外，本課新增三個倒數函數：餘割是正弦的倒數，正割是餘弦的倒數，餘切是正切的倒數。舉個例子：若三十度角的正弦是二分之一，則它的餘割是二。配合一加正切平方等於正割平方、一加餘切平方等於餘割平方兩條恆等式，可以化簡含倒數函數的三角數式，路徑比必修課程寬闊得多。
3複角公式處理兩角之和與差的三角函數：例如兩角之和的正弦，等於第一角的正弦乘第二角的餘弦，加上第一角的餘弦乘第二角的正弦。舉個例子：以四十五度加三十度為例，套用公式得根號六加根號二再除以四，正好是七十五度的正弦值；可見複角公式能把陌生角的三角函數拆成熟悉角來計算。
4二倍角公式是複角公式的特例：正弦的二倍角等於兩倍正弦乘餘弦；餘弦的二倍角有三種寫法，常用的包括一減二倍正弦平方與二倍餘弦平方減一。舉個例子：已知某角的正弦為五分之三，該角二倍的正弦就是二乘五分之三乘五分之四，即二十五分之二十四；這類計算在證明與應用中都極常用。
5複角與二倍角公式更是解三角方程和證明恆等式的工具。舉個例子：解方程二倍角的正弦等於餘弦，先把左邊寫成兩倍正弦乘餘弦，移項後提取公因式，便化成兩個簡單方程，在零至三百六十度區間內逐一求解。這類題目在延伸試卷中經常出現，重點是熟記公式、按象限寫齊所有解，一個都不能漏。
1重點摘要 Summary
延伸單元二把三角學推進一層：以弧度量角，新增餘割、正割、餘切三個函數，並用複角與二倍角公式證明恆等式、化簡數式與解三角方程，為日後的微積分鋪路。
2生字卡 Vocabulary
弧長等於半徑的圓心角；180° = π 弧度，是延伸課程的標準量角單位。
正弦的倒數函數，記作 cosec x = 1/sin x。
餘弦的倒數函數，記作 sec x = 1/cos x。
正切的倒數函數，記作 cot x = 1/tan x = cos x/sin x。
把兩角和或差的三角函數展開的公式，如 sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B。
複角公式中兩角相等的特例：sin 2A = 2 sin A cos A；cos 2A 有三種寫法。
對所有容許的角都成立的等式，以三橫符號 ≡ 表示；證明須由一邊化至另一邊。
含三角函數的方程；在指定區間內通常有多於一個解，須按象限寫齊。
坐標平面被兩軸分成的四個區域；各象限決定三角函數值的正負。
函數值重複一次所需的區間長度；正弦、餘弦與正切的週期分別為 360° 與 180°。
3逐步講解 Steps
- 第一步：弧度法的定義弧度以弧長量角：在半徑為 r 的圓中，弧長等於 r 的圓心角就是 1 弧度。整個圓的周長是 2πr，所以 360° 等於 2π 弧度，180° 等於 π 弧度，90° 等於 π/2。舉個例子：把 60° 化為弧度，用 60 乘 π 再除以 180，得 π/3；反過來把 5π/6 化為度數，乘 180 再除以 π，得 150°。換算核心只需記住一條：180° 對應 π。日後學導數與積分時，三角函數的公式全部以弧度為標準，現在養成習慣，日後事半功倍。
- 第二步：三個倒數函數餘割函數 cosec x 等於 1/sin x，正割函數 sec x 等於 1/cos x，餘切函數 cot x 等於 1/tan x（亦等於 cos x/sin x）。舉個例子：x = 30° 時 sin x = 12，所以 cosec 30° = 2；cos 60° = 12，所以 sec 60° = 2。要留意倒數函數在原函數為零處沒有定義：sin 180° = 0，故 cosec 180° 不存在。配合平方關係 1 + tan²x = sec²x 與 1 + cot²x = cosec²x，可以化簡含倒數函數的數式，例如把 sec²x − tan²x 直接寫成 1。
- 第三步：複角公式（正弦與餘弦）複角公式把兩角和與差的函數展開：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B；sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B；cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B；cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B。舉個例子：求 sin 75°，把 75° 看作 45° + 30°，代入得 (√6 + √2)/4。特別注意 sin(A + B) 不等於 sin A + sin B——這是最常見的錯誤；用 A = B = 30° 驗證：左邊 sin 60° 約 0.866，右邊等於 1，兩者根本不同，可見必須套公式。
- 第四步：正切的複角公式正切的複角公式為 tan(A + B) = (tan A + tan B)/(1 − tan A tan B)，減角則分子變 tan A − tan B、分母變 1 + tan A tan B。舉個例子：tan(45° + 30°) = (1 + 1/√3)/(1 − 1/√3)，化簡得 2 + √3，正是 tan 75°。公式在 tan A tan B = 1 時失效，因為分母為零；這對應 A + B = 90° 的情形，而九十度的正切本來就無定義，公式失效恰與事實吻合。記憶方法：分子是兩個正切相加減，分母是 1 減或加乘積，加減號剛好交錯。
- 第五步：二倍角公式在複角公式中令 B = A，便得二倍角公式：sin 2A = 2 sin A cos A；cos 2A = cos²A − sin²A = 1 − 2sin²A = 2cos²A − 1，三種寫法按題目需要選用；tan 2A = 2 tan A/(1 − tan²A)。舉個例子：已知 sin A = 35 且 A 是銳角，則 cos A = 45，於是 sin 2A = 2 × (35) × (45) = 2425。餘弦二倍角的三種形式常在恆等式證明中互相替換：見到 sin²A 就換成 (1 − cos 2A)/2，見到 cos²A 就換成 (1 + cos 2A)/2，二次式隨即降為一次。
- 第六步：用複角公式證明恆等式證明恆等式的一般策略：從較複雜的一邊入手，把所有函數化成 sin 與 cos，套用公式逐步靠攏另一邊，每一行都寫出所用公式。舉個例子：證明 sin 2A = 2 sin A cos A，只需在 sin(A + B) 中令 B = A，一行便成；又如證明 sin(A + B) sin(A − B) = sin²A − sin²B，展開左邊、合併同類項即得右邊。答題紀律：等號方向保持單向推進，不可兩邊同時變形再『相會』，也不要中途倒推；每步變形都要可追溯，這是評卷員檢查的重點。
- 第七步：解三角方程（0° 至 360°）解三角方程先化成只含一個函數的簡單方程，再按週期與象限寫齊所有解。舉個例子：解 sin 2x = cos x，其中 0° ≤ x ≤ 360°。先用二倍角公式把左邊寫成 2 sin x cos x，移項得 cos x(2 sin x − 1) = 0，於是 cos x = 0 或 sin x = 12。前者給 x = 90°、270°；後者在第一、二象限給 x = 30°、150°。另一類題如 sin 2x = 1，宜設 θ = 2x，θ 的範圍擴大為 0° 至 720°，解得 θ = 90°、450°，再除以 2 得 x = 45°、225°——角倍乘時範圍也要倍大，這是最容易漏解的地方。
5例題示範 Example
例題：（一）證明恆等式 sin(A + B) − sin(A − B) = 2 cos A sin B；（二）解方程 sin 2x = sin x，其中 0° ≤ x ≤ 360°。
- （一）展開左邊：sin(A + B) − sin(A − B) = (sin A cos B + cos A sin B) − (sin A cos B − cos A sin B)
- 合併：sin A cos B 兩項互相抵消，餘下 cos A sin B + cos A sin B = 2 cos A sin B，得證
- （二）用二倍角公式：sin 2x = 2 sin x cos x，方程變成 2 sin x cos x = sin x
- 移項並提取公因式：2 sin x cos x − sin x = 0，即 sin x(2 cos x − 1) = 0
- 解 sin x = 0 得 x = 0°、180°、360°；解 cos x = 12 得 x = 60°、300°
- 答案：（一）由複角公式展開後合併，左右兩邊相等，恆等式得證。（二）x = 0°、60°、180°、300°、360°。證恆等式從較複雜一邊化簡；解方程先降次或提取公因式，化為一次因式，並記住 sin x = 0 在區間內有三個解，切勿漏去 0° 與 360°。
6常見錯誤 Mistakes
75 題快測 Quick check
Q1弧度是怎樣定義的？180° 等於多少弧度？
Q2計算：用複角公式求 sin 75° 的值。
Q3計算：已知 sin A = 35（A 為銳角），求 sin 2A。
Q4計算：解 cos x = −12，其中 0° ≤ x ≤ 360°。
Q5證明恆等式的常用策略是什麼？
8重點回顧 Recap
- 弧度制：180° = π，90° = π/2，換算只需記住這一條
- cosec x = 1/sin x、sec x = 1/cos x、cot x = 1/tan x，配合平方關係化簡數式
- 複角公式展開兩角和差；sin(A + B) 絕不等於 sin A + sin B
- 二倍角公式由複角公式令 B = A 而來；cos 2A 有三種可互換的寫法
- 解三角方程先化為單一函數、按象限寫齊所有解；角倍乘時範圍也要倍大