離差的度量與標準分
基礎平均值只反映集中趨勢，離差才描述數據的分散程度：分佈域、四分位數間距、方差與標準差各有用途；標準分再把原始分換算成相對位置，令不同科目的成績可以公平比較。
- 離差描述數據的分散程度，與集中趨勢並列為數據的兩大特徵
- 分佈域 = 最大值 − 最小值；四分位數間距 = Q3 − Q1，對極端值較穩健
- 方差 = 偏差平方的平均；標準差 = 方差的正平方根，單位與原數據相同
文體小知識：數學概念說明文——講解離差的概念，逐一介紹分佈域、四分位數間距、方差與標準差，並以標準分把不同組別的表現換算成可公平比較的相對位置。
§課文原文 Passage
1兩班測驗的平均分可以完全相同，表現卻大不相同：一班的分數集中在平均分附近，另一班則嚴重兩極分化。描述一組數據，除了集中趨勢，還需要離差，即數據偏離中心的分散程度。離差越小，數據越集中、越整齊；離差越大，數據越參差。只報平均值而不報離差，等於只講了一半故事。
2最直觀的離差度量是分佈域，即最大值減最小值，計算快，但只由兩個極端值決定，一個異常值便會令它嚴重失真。改良的辦法是四分位數間距：把數據排序後分成四段，取中間一半數據的範圍，即第三四分位數減第一四分位數，避開了兩端的極端值。統計上常用框線圖把五個關鍵數值畫在一條線上，方便比較不同組別。
3方差與標準差是最常用的離差度量。計算方差時，先把每個數據減去平均值求偏差，再取偏差的平方平均；方差開平方就是標準差。取平方是為了令正負偏差不會互相抵消，同時放大遠離中心的數據的影響。標準差與原數據單位相同，數值越大代表數據越分散；舉個例子：分數越參差的班別，標準差越大。
4標準分又稱 z 分數，把原始分換算成相對位置：先減去平均值，再除以標準差。標準分為零表示正好在平均值；為正表示高於平均，為負表示低於平均。舉個例子：數學考 80 分、全班平均 65、標準差 10，標準分是 1.5；英文考 75 分、平均 60、標準差 5，標準分是 3。原始分英文較低，標準分卻更高，相對表現反而更突出。
5對數據每項加同一常數，離差不變；乘同一正數，離差按比例改變。舉個例子：全班每人加 5 分，分佈域、方差與標準差都不變，因為數據只是整體平移；若每個分數加倍，標準差也加倍。掌握這兩條規律，處理調分類題目便有章法。單元一在日後的正態分佈課題中，會把標準分與各區間比例結合，本課的計算必須先練得純熟。
1重點摘要 Summary
平均值只反映集中趨勢，離差才描述數據的分散程度：分佈域、四分位數間距、方差與標準差各有用途；標準分再把原始分換算成相對位置，令不同科目的成績可以公平比較。
2生字卡 Vocabulary
數據偏離中心的分散程度，與集中趨勢並列為數據的兩大特徵。
最大值減最小值；計算最快，但受極端值影響最大。
第三四分位數減第一四分位數，即中間一半數據的範圍，對極端值較穩健。
把最小值、Q1、中位數、Q3 與最大值畫在一條線上的圖，方便比較多組數據，又稱箱形圖。
偏差平方的平均值，量度數據分散程度；等於標準差的平方。
方差的正平方根，與原數據單位相同；數值越大，數據越分散。
原始分減平均值再除以標準差所得的相對位置，零代表平均值水平。
全部數據相加再除以數據個數，是常用的集中趨勢量度。
數據向中心集中的傾向，以平均值、中位數等描述。
一次觀察或調查收集所得的一組數據。
3逐步講解 Steps
- 第一步：為什麼需要離差只看平均值會掩蓋重要信息。舉個例子：甲乙兩組各五人，平均值同為 70，甲組分數是 68、69、70、71、72，人人貼近平均；乙組是 40、50、70、90、100，嚴重兩極。教學上前者適合統一進度，後者則須分層支援。可見描述一組數據，除了平均值所代表的集中趨勢，必須再報告分散程度，即離差，兩者合起來才是完整圖像；這是單元一統計部分的基本功，也是歷年試卷的常見考點。
- 第二步：分佈域與四分位數間距分佈域等於最大值減最小值，計算最快。舉個例子：數據 3、7、8、15、20 的分佈域是 20 − 3 = 17。但它只由兩端決定：若 20 變成 200，分佈域暴漲至 197，其餘數據卻絲毫未變，可見它對異常值毫無抵抗力。四分位數間距則先排序、再取中間一半：IQR = Q3 − Q1。上述數據的 Q1 = 7、Q3 = 15，IQR = 8，極端值的影響大減。框線圖把最小值、Q1、中位數、Q3、最大值五個關鍵數畫在一條線上，兩組數據一比便知誰較分散。
- 第三步：方差與標準差的計算方差計算分三步：先求平均值 μ；再算每個數據的偏差 x − μ；把偏差平方後取平均，得方差，方差的平方根就是標準差。舉個例子：數據 2、4、6、8、10，平均值 6，偏差為 −4、−2、0、2、4，平方得 16、4、0、4、16，方差 = 40 ÷ 5 = 8，標準差 = √8 ≈ 2.83。取平方令正負偏差不會互相抵消，同時放大遠離中心的數據的影響，所以標準差對極端值比四分位數間距敏感——這既是它能反映異常的優點，也是它易被異常值拉高的缺點。
- 第四步：用離差比較兩組數據比較兩組數據的表現，應同時看平均值與離差。舉個例子：甲班五人得 60、65、70、75、80，平均值 70，偏差平方和 = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250，方差 = 50，標準差 ≈ 7.1；乙班五人得 55、65、70、75、85，平均值同樣 70，偏差平方和 = 225 + 25 + 0 + 25 + 225 = 500，方差 = 100，標準差 = 10。兩班平均分相同，但甲班標準差較小，成績較整齊；乙班較分散。答題時要寫出「平均值相同，而甲班標準差較小，故表現較穩定」的完整結論，只寫數字不寫結論會失分。
- 第五步：標準分的定義與計算標準分 z = (x − μ)/σ，把「離平均有多遠」除以「一般偏離有多遠」，變成無單位的相對位置。舉個例子：數學 80 分，平均 65、標準差 10，z = (80 − 65)/10 = 1.5，即高於平均 1.5 個標準差；英文 75 分，平均 60、標準差 5，z = (75 − 60)/5 = 3。原始分英文較低，標準分卻更高，相對表現更好。跨科目、跨班別比較，用標準分才公平；學校調整校內成績名次時，正是採用這套換算，延伸試卷亦每年必考。
- 第六步：加常數與乘常數的影響對數據每項加同一常數 k：平均值加 k，但每個偏差 x − μ 保持不變，所以方差與標準差不變。乘以同一正數 k：平均值與標準差都乘 k，方差乘 k 的平方。舉個例子：全班每人加 5 分，標準差不變；若把攝氏溫度轉為華氏，即乘 95 再加 32，標準差變成原來的 95 倍，方差變成 8125 倍。做題時先判斷是平移還是縮放，再套規律；例如「每人減 3 分後標準差是多少」，答案是不變，許多人誤答減少，這正是考題設下的陷阱。
- 第七步：離差在現實中的應用離差與標準分在現實中用途廣泛。舉個例子：品質管制用標準差衡量生產線的穩定度，螺絲直徑的標準差越小，產品越一致，不良率越低；氣象報告比較兩個城市的日溫差，其實就是分佈域的應用；學校用標準分比較學生在不同科目的相對表現，作為升留班或頒發獎學金的依據。單元一在正態分佈課題中，會把標準分與 68–95–99.7 規則結合，用來估計各區間所佔比例；先把本課的方差與標準分計算練到純熟，日後學習便水到渠成。
5例題示範 Example
例題：甲、乙兩班各 5 人參加同一測驗。甲班分數：60、65、70、75、80；乙班分數：55、65、70、75、85。（一）求兩班的平均值與標準差；（二）比較兩班表現；（三）小華在甲班得 80 分，小強在乙班得 85 分，用標準分判斷誰的相對表現較佳。
- （一）甲班平均值 = (60 + 65 + 70 + 75 + 80) ÷ 5 = 70；乙班平均值 = (55 + 65 + 70 + 75 + 85) ÷ 5 = 70
- 甲班偏差平方和 = (−10)² + (−5)² + 0² + 5² + 10² = 250，方差 = 250 ÷ 5 = 50，標準差 = √50 ≈ 7.1
- 乙班偏差平方和 = (−15)² + (−5)² + 0² + 5² + 15² = 500，方差 = 500 ÷ 5 = 100，標準差 = 10
- （二）兩班平均值同為 70，但甲班標準差較小，故甲班成績較整齊穩定，乙班較分散
- （三）小華的標準分 = (80 − 70)/√50 ≈ 1.41；小強的標準分 = (85 − 70)/10 = 1.5；因為 1.5 > 1.41，小強的相對表現較佳
- 答案：甲、乙兩班平均值同為 70 分；甲班標準差約 7.1，乙班標準差 10，故甲班較整齊。小華標準分約 1.41，小強標準分 1.5，小強相對表現較佳。答題時先寫平均值與標準差的計算過程，再以「平均值相同而標準差較小」表述結論；跨班比較宜用標準分，而非直接比較原始分。
6常見錯誤 Mistakes
75 題快測 Quick check
Q1什麼是離差？為什麼只有平均值不足以描述一組數據？
Q2計算：求數據 4、8、10、14、14 的平均值與方差。
Q3計算：數據 2、4、6、8、10 的標準差是多少？
Q4計算：某科平均 62、標準差 8，小婷得 78 分，求她的標準分。
Q5對數據每項乘以 3 後，平均值、方差、標準差怎樣變化？
8重點回顧 Recap
- 離差描述數據的分散程度，與集中趨勢並列為數據的兩大特徵
- 分佈域 = 最大值 − 最小值；四分位數間距 = Q3 − Q1，對極端值較穩健
- 方差 = 偏差平方的平均；標準差 = 方差的正平方根，單位與原數據相同
- 標準分 z = (x − μ)/σ，可跨組別、跨科目公平比較相對表現
- 每項加常數離差不變；每項乘正數 k，標準差乘 k、方差乘 k²