二項式定理
進階二項式定理把兩項式的乘冪展開為以組合數為係數的多項式，通項公式更可在不必完全展開的情況下直接鎖定指定項，是延伸單元處理高次展開式的核心工具。
- (a + b)ⁿ 展開共有 n + 1 項，第 r + 1 項為 C(n,r)a^(n−r)b^r
- 展開式係數排成帕斯卡三角形，每個係數就是組合數 C(n,r)
- 求指定項三步曲：寫通項、按指數條件解 r、代入組合數計算
文體小知識：數學概念說明文——由逐項相乘的困境引入二項式定理，講解帕斯卡三角形、組合數係數、通項公式與符號處理，是延伸單元二的重要代數工具課。
§課文原文 Passage
1兩項式的乘方在代數中隨處可見：平方差公式、立方公式都由它而來。次數是二或三時，逐項相乘還能應付；次數一旦升到十或以上，展開式有十多項，逐次相乘既費時又容易出錯。數學家因此找到了一般規律，就是二項式定理：兩項式的 n 次冪可以一次寫成 n 加一項的和，各項係數整齊有序，完全不必逐次相乘。
2展開式的係數排成著名的帕斯卡三角形：每行兩端都是一，中間每個數等於上一行相鄰兩數之和。舉個例子：n 等於 5 的那一行是一、五、十、十、五、一，正好就是兩項式五次方展開的係數；n 等於 4 的行是一、四、六、四、一。這些係數其實是組合數：由 n 件物件選出 r 件的組合數目，正好對應展開式中第 r 加一項的係數。
3完整地說，二項式定理指出：兩項式的 n 次冪等於一列項的和，每項由三個因數相乘而成——組合數、第一個字母的遞降次冪、第二個字母的遞升次冪，兩個指數相加恰好等於 n。舉個例子：兩項式的三次方展開共有四項，係數依次是一、三、三、一，一個字母的指數由三降至零，另一個由零升至三。
4通項公式是解題的利器：要求展開式中的指定項，不必寫出整個展開式，只要寫出第 r 加一項的一般形式，再按題目對指數的條件解出 r。舉個例子：想知兩項式的五次方展開中，某字母平方項的係數是多少，只需取 r 等於 2 的那一項，代入組合數、係數與指數，一行算式便有答案，毋須展開全部六項。
5本課與組合計數關係密切，也是延伸兩個單元日後內容的橋樑：單元一的概率分佈中，二項分佈的公式與二項式定理形式相同；單元二的數學歸納法正可以用來證明這條定理。考試常見題型包括求指定係數、求常數項與判斷某項是否存在，解題入口全部是通項公式，務必練至熟練。
1重點摘要 Summary
二項式定理把兩項式的乘冪展開為以組合數為係數的多項式，通項公式更可在不必完全展開的情況下直接鎖定指定項，是延伸單元處理高次展開式的核心工具。
2生字卡 Vocabulary
由兩項組成的多項式，如 x + 2；其乘冪的展開是本課主題。
把二項式的正整數次冪展開為 n + 1 項之和的定理，各項係數為組合數。
把乘冪寫成各項之和的結果；二項式 n 次冪的展開式共有 n + 1 項。
由各次展開式係數排成的三角形，每行兩端為一，中間數等於上行相鄰兩數之和。
展開式中各項的係數，等於對應的組合數 C(n,r)。
由 n 件相異物件選出 r 件、不計次序的方法數，記作 C(n,r)。
展開式第 r + 1 項的一般形式：組合數 C(n,r) 乘 a 的 n − r 次方乘 b 的 r 次方。
項中字母前的數字因數；展開式中由組合數與數字係數共同決定。
展開式中不含字母（指數為零）的項；求它時令通項中字母的指數為零。
以希臘字母 Σ 表示一列數相加的記法，二項式定理可用它簡潔地表達。
3逐步講解 Steps
- 第一步：由逐項相乘到需要定理先看次數低的情形：二項式的平方展開有三項，立方展開有四項，都可靠乘法分配律逐項相乘得出。舉個例子：(x + 2)² = x² + 4x + 4；再乘一次 (x + 2)，得 (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8。可是次數一旦上升到十，展開式有十一項，逐項相乘既費時又容易漏項。二項式定理用一條通式把所有項一次寫齊，並且可以只計算題目要求的那一項，這正是它重要而必須熟練的原因。
- 第二步：帕斯卡三角形與係數規律把各次展開式的係數疊起來，就是帕斯卡三角形：每行兩端是一，中間每個數等於上一行相鄰兩數之和。舉個例子：n = 4 的行是 1、4、6、4、1，正好是 (1 + x)⁴ 展開的係數；n = 5 的行是 1、5、10、10、5、1。要留意三角形的行數由 0 開始數，第 n 行有 n + 1 個數。用三角形找係數適合次數小的題目，快捷又直觀；次數大時，就要用組合數直接計算，避免數錯行。
- 第三步：係數就是組合數帕斯卡三角形第 n 行第 r 個位置（由 0 數起）的數，等於組合數 C(n,r)，即由 n 件相異物件選出 r 件的方法數。舉個例子：C(5,2) = 10，正對應第五行中間的 10；C(5,0) = C(5,5) = 1，對應行兩端的 1。這並非巧合：展開二項式的 n 次冪時，每一項來自在 n 次分配中選出 r 個 b 與 n − r 個 a 的組合方式，選法數目自然是組合數，所以係數就是 C(n,r)。
- 第四步：寫出二項式定理二項式定理：二項式 (a + b) 的 n 次冪（n 為正整數）等於各項之和，其中每一項為組合數 C(n,r) 乘 a 的 n − r 次方乘 b 的 r 次方，r 由 0 數到 n，故展開式共有 n + 1 項。舉個例子：展開 (2 + x)³，各項為 C(3,0) × 2³（即 8）、C(3,1) × 2²x（即 12x）、C(3,2) × 2x²（即 6x²）、C(3,3) × x³（即 x³），合計 8 + 12x + 6x² + x³。寫展開式時按 r 遞增排列，指數一升一降，次序不可亂。
- 第五步：通項公式鎖定指定項展開式中第 r + 1 項稱為通項，公式為 T(r + 1) = C(n,r)a^(n−r)b^r。求指定項時，先寫通項、再按指數條件解出 r。舉個例子：求 (x² + 1/x)⁶ 展開式中不含 x 的項（常數項）：通項為 C(6,r) 乘 x 的 (12 − 3r) 次方，令指數為零，得 r = 4，該項為 C(6,4) = 15。全程只用了兩行，完全不必展開整條式。這一技巧也用於求某次冪的係數、判斷某項是否存在，是延伸試卷的必考工具。
- 第六步：展開 (1 + 2x)⁵ 求 x² 係數以經典題為例：展開 (1 + 2x)⁵。各項為 C(5,r) 乘 (2x) 的 r 次方：r = 0 時是 1；r = 1 時 C(5,1) × 2x，即 10x；r = 2 時 C(5,2) × (2x)²，即 10 × 4x² = 40x²；繼續得 80x³、80x⁴ 與 32x⁵。所以 x² 的係數是 40。要特別小心：(2x)² 是 4x² 而不是 2x²，數字係數也要跟著自乘，這是最常見的失分位；寫完可用首尾項核對：兩端必定是 1 與 32，即數字係數的五次方。
- 第七步：符號與減號的處理當二項式含減號，例如 (2x − 3) 的乘冪，可把它看成 (2x + (−3))，通項中的 b 就是 −3，b 的 r 次方按 r 的奇偶決定正負。舉個例子：展開 (x − 2)⁴ 時，各項符號依次為正、負、正、負、正；x² 的係數為 C(4,2) × (−2)² = 6 × 4 = 24。口訣：減號在前，奇數次冪帶負、偶數次冪帶正；展開式兩端符號必為正，可用這一點快速檢查。計算係數時把符號與數值分開處理，先算數值再配符號，出錯機會大減。
5例題示範 Example
例題：（一）展開 (1 + 2x)⁵，並寫出 x² 的係數；（二）用通項公式求 (x² + 1/x)⁶ 展開式中的常數項。
- （一）各項為 C(5,r)(2x)ʳ，r 由 0 至 5，係數依次 1、5、10、10、5、1
- 逐項計算：(1 + 2x)⁵ = 1 + 10x + 40x² + 80x³ + 80x⁴ + 32x⁵
- 所以 x² 的係數是 40（由 C(5,2) × 2² = 10 × 4 而來）
- （二）寫通項：T(r + 1) = C(6,r)(x²)^(6−r)(1/x)ʳ = C(6,r)x^(12−3r)
- 令指數 12 − 3r = 0，得 r = 4，常數項 = C(6,4) = 15
- 答案：（一）(1 + 2x)⁵ = 1 + 10x + 40x² + 80x³ + 80x⁴ + 32x⁵，x² 的係數是 40。（二）常數項是 15。解題關鍵是先用通項寫出第 r + 1 項，再由指數條件解出 r；含數字係數時緊記把係數一併自乘，例如 (2x)² = 4x²。
6常見錯誤 Mistakes
75 題快測 Quick check
Q1二項式定理中，(a + b)ⁿ 的展開式有多少項？各項係數由什麼決定？
Q2計算：(1 + x)⁶ 展開式中 x³ 的係數是多少？
Q3計算：展開 (2 + x)³。
Q4計算：(x + 2)⁵ 展開式中 x² 的係數是多少？
Q5為什麼可以用通項公式求指定項，而毋須完全展開？
8重點回顧 Recap
- (a + b)ⁿ 展開共有 n + 1 項，第 r + 1 項為 C(n,r)a^(n−r)b^r
- 展開式係數排成帕斯卡三角形，每個係數就是組合數 C(n,r)
- 求指定項三步曲：寫通項、按指數條件解 r、代入組合數計算
- 數字係數要跟指數一起計算：(2x)² = 4x²；減號項按次冪奇偶定正負
- 通項公式是不完全展開而求指定係數、常數項的核心工具