二項分佈與泊松分佈
基礎二項分佈描述固定次數獨立試驗中的成功次數，期望值是試驗次數乘成功概率；泊松分佈描述單位時間內隨機事件的發生次數，期望值與方差同為平均率。認清情境、選對分佈，概率應用題便有固定解法。
- 離散隨機變數的概率分佈列出每個取值的概率，全部概率之和為 1
- 二項分佈 X ~ B(n, p)：P(X = r) = C(n,r)p^r(1 − p)^(n − r)、E(X) = np、Var(X) = np(1 − p)
- 泊松分佈 X ~ Po(λ)：P(X = r) = e^(−λ)λ^r/r!、E(X) = Var(X) = λ
文體小知識：數學概念說明文——由離散隨機變數與伯努利試驗出發，建立二項分佈與泊松分佈的概率公式、期望值與方差，並比較兩種分佈各自的適用情境。
§課文原文 Passage
1許多試驗只有兩個結果：成功或失敗，例如擲硬幣、射門命中、產品合格。這類單次試驗稱為伯努利試驗。把同一試驗獨立重複 n 次，成功次數是一個離散隨機變數：它取每個非負整數值的機會不同，把各個取值的概率列清楚，就是它的概率分佈；全部概率相加必須等於一。
2統計學把這個成功次數的分佈稱為二項分佈。它的概率公式有三個因數：組合數、成功概率的 r 次方、失敗概率的其餘次方；組合數部分正好數出「r 次成功發生在哪幾次」的方式數目，公式形式也與二項式定理互相呼應。舉個例子：擲公平硬幣五次，恰得兩次正面的概率，就是組合數 10 乘以二分之一自乘五次，即 516。
3二項分佈的期望值等於試驗次數乘成功概率，方差等於試驗次數乘成功概率乘失敗概率，直接套用、不必證明。舉個例子：擲公平硬幣一百次，正面次數的期望值是 50，方差是 25，標準差是 5。期望值告訴我們平均而言成功多少次，方差則反映圍繞期望值的波動幅度；成功概率越接近零或一，波動越小，結果越穩定。
4另一類情境沒有固定的試驗次數，只知道事件在單位時間內平均發生若干次，例如客服中心每小時接獲的查詢、路口每分鐘經過的車輛。此時發生次數服從泊松分佈，概率公式是：先取 e 的負 λ 次方，乘以 λ 的 r 次方，再除以 r 的階乘，其中 λ 是平均發生率，e 約等於 2.718。泊松分佈最特別之處，是期望值與方差相等，同為 λ。
5選擇分佈要看情境：有固定試驗次數、每次成功概率相同的獨立試驗，用二項分佈；只知單位時間平均發生率、事件隨機獨立發生，用泊松分佈。舉個例子：擲骰 10 次數「6」的次數屬前者；保險公司估計每月理賠宗數屬後者。兩種分佈在延伸單元的試卷中經常同場出現，公式、期望值與方差必須準確背寫，臨場才能一步到位。
1重點摘要 Summary
二項分佈描述固定次數獨立試驗中的成功次數，期望值是試驗次數乘成功概率；泊松分佈描述單位時間內隨機事件的發生次數，期望值與方差同為平均率。認清情境、選對分佈，概率應用題便有固定解法。
2生字卡 Vocabulary
把隨機試驗的各種結果對應到數值的變量，常用大寫字母表示。
只取有限個或可數無限個值的性質；離散隨機變數的概率可以逐個列出。
列出隨機變數每個取值及其概率的表或公式，全部概率之和為一。
只有成功與失敗兩種結果的單次試驗，成功概率記作 p。
n 次獨立伯努利試驗中成功次數的分佈，記作 X ~ B(n, p)。
描述單位時間（或空間）內隨機事件發生次數的分佈，記作 X ~ Po(λ)。
隨機變數取值以概率加權的平均，即長期平均結果；E(X) = Σ x P(X = x)。
量度隨機變數圍繞期望值波動幅度的數值；本課兩種分佈各有現成公式。
決定分佈形狀的常數：二項分佈有 n 與 p，泊松分佈只有 λ。
事件在單位時間（或空間）內平均發生的次數，是泊松分佈的唯一參數。
3逐步講解 Steps
- 第一步：離散隨機變數與概率分佈隨機變數是把試驗結果對應到數值的變量；只取有限個或可數無限個值的，稱為離散隨機變數。描述它要用概率分佈：列出每個取值及其概率，全部概率相加等於 1。舉個例子：擲一枚公平骰，點數的分佈是 1 至 6 各取概率 16；若求「至少 5 點」的概率，把 X = 5 與 X = 6 的概率相加得 13。概率分佈是本課兩種分佈的共同框架：先確認分佈，才能求期望值與方差，這個次序不要顛倒。
- 第二步：伯努利試驗與二項情境伯努利試驗指只有成功與失敗兩種結果的一次試驗，成功概率記 p。二項分佈適用的四個條件：試驗次數 n 固定；每次結果只有兩種；各次互相獨立；每次成功概率相同。舉個例子：擲公平骰 10 次數「6」的次數，n = 10、p = 16，四個條件全部滿足，故 X ~ B(10, 16)。反例：從一副撲克不還原地抽 5 張數 A 的張數，每次成功概率隨抽牌而變，不滿足條件，不能用二項分佈，須另用組合計數處理。套公式前先核對四個條件，是這一課的第一守則。
- 第三步：二項分佈的概率公式若 X ~ B(n, p)，則 P(X = r) = C(n,r)p^r(1 − p)^(n − r)，其中 r 可取 0、1、2、…、n。三個因數各有意義：C(n,r) 數出「r 次成功發生在哪幾次」的方式數；p^r 是 r 次成功的概率；(1 − p)^(n − r) 是其餘 n − r 次失敗的概率。舉個例子：擲公平硬幣 5 次恰得 2 次正面，P(X = 2) = C(5,2)(12)²(12)³ = 1032 = 516。遇到「至少」「至多」的問法，把符合條件的各項概率逐個相加，或用一減補事件，千萬不要只算一項。
- 第四步：二項分佈的期望值與方差若 X ~ B(n, p)，則期望值 E(X) = np，方差 Var(X) = np(1 − p)，試卷不要求證明，直接套用。舉個例子：命中率 0.7 的球員主射 12 球，命中次數 X ~ B(12, 0.7)，E(X) = 12 × 0.7 = 8.4，Var(X) = 12 × 0.7 × 0.3 = 2.52，標準差約 1.59。答題時若問「估計平均命中次數」，答期望值 8.4；問「波動大小」才涉及方差。留意 p 越接近 0 或 1，(1 − p) 或 p 越小，方差越小，命中次數越穩定，這與直覺一致。
- 第五步：泊松分佈的概念與公式若隨機事件在單位時間（或空間）內平均發生 λ 次、各次獨立，則發生次數 X ~ Po(λ)，概率公式為 P(X = r) = e^(−λ)λ^r/r!，其中 r 可取 0、1、2、…，沒有上限。e ≈ 2.718，計算時用計算機的 e 的冪功能。舉個例子：售票處每小時平均接到 3 個查詢，X ~ Po(3)，P(X = 2) = e^(−3) × 3²/2! ≈ 0.224。分母的階乘令大 r 值的概率迅速變小，所以「次數遠超平均」的情況越來越罕見；公式中 e 的指數永遠帶負號，抄錯符號是最常見的失分位。
- 第六步：泊松分佈的期望值與方差泊松分佈的特點是期望值與方差都等於 λ：E(X) = λ、Var(X) = λ，一個參數決定整個分佈，這在所有常見分佈中獨一無二。舉個例子：網站每分鐘平均收到 8 個請求，X ~ Po(8)，期望值與方差都是 8，標準差為 √8 ≈ 2.83。實務上若數據的均值與方差相差很遠，泊松模型便未必合適。判斷題也有訊號：題目只給「平均每小時 3 次」一個參數，暗示泊松情境；若同時給試驗次數與成功概率兩個數，則指向二項分佈，先認清再動筆。
- 第七步：兩種分佈的比較與應用選分佈三問：有沒有固定的試驗次數 n？每次是否獨立、成功概率相同？已知的是 n 與 p，還是單位時間平均率 λ？舉個例子：10 條多項選擇題全靠亂猜，答對題數 X ~ B(10, 14)，E(X) = 2.5；快餐店每小時平均 12 名顧客，到達人數 Y ~ Po(12)，E(Y) = Var(Y) = 12。二項分佈的「至少」題把各項相加即可；泊松的「至少」題若項數太多，用 1 減去補事件（X = 0 至 r − 1 各項之和）計算，例如 P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2)，三項而已，快捷且不易漏。
5例題示範 Example
例題：（一）把一枚公平骰子擲 10 次，設 X 為擲得「6」的次數。寫出 X 的分佈，並求 P(X ≥ 8)。（二）某客服中心每小時平均接獲 3 個查詢，設 Y 為每小時查詢數目，且 Y ~ Po(3)。求 P(Y = 2)，並寫出 Y 的期望值與方差。
- （一）每次擲得 6 的概率 p = 16，共 10 次獨立試驗，故 X ~ B(10, 16)
- 寫出各項：P(X = 8) = C(10,8)(16)⁸(56)²、P(X = 9) = C(10,9)(16)⁹(56)、P(X = 10) = (16)¹⁰
- 三項相加：P(X ≥ 8) = (45 × 25 + 10 × 5 + 1)/6¹⁰ = 117660466176 ≈ 1.94 × 10⁻⁵
- （二）P(Y = 2) = e^(−3) × 3²/2! = (92)e^(−3) ≈ 0.224
- Y 的期望值 E(Y) = λ = 3；方差 Var(Y) = λ = 3
- 答案：（一）X ~ B(10, 16)，P(X ≥ 8) ≈ 0.0000194，即約十萬分之二，屬極罕見事件。（二）P(Y = 2) ≈ 0.224，E(Y) = Var(Y) = 3。答題格式：先寫分佈記法 B(n, p) 或 Po(λ)，再寫公式、代入數字、用計算機求值；「至少」題逐項相加或用補事件，切勿只算一項。
6常見錯誤 Mistakes
75 題快測 Quick check
Q1二項分佈 B(n, p) 適用的條件是什麼？
Q2計算：擲公平硬幣 6 次，恰得 4 次正面的概率是多少？
Q3計算：若 X ~ B(20, 0.2)，求 E(X) 與 Var(X)。
Q4計算：若 Y ~ Po(2)，求 P(Y = 0)。
Q5什麼情境應採用泊松分佈？它的期望值與方差有什麼關係？
8重點回顧 Recap
- 離散隨機變數的概率分佈列出每個取值的概率，全部概率之和為 1
- 二項分佈 X ~ B(n, p)：P(X = r) = C(n,r)p^r(1 − p)^(n − r)、E(X) = np、Var(X) = np(1 − p)
- 泊松分佈 X ~ Po(λ)：P(X = r) = e^(−λ)λ^r/r!、E(X) = Var(X) = λ
- 選分佈看情境：固定次數獨立試驗用二項分佈；單位時間平均率用泊松分佈
- 「至少」題把各項相加，或用 1 減補事件，快捷且不漏項