勻速圓周運動與引力
進階物體沿圓周運動時必須有指向圓心的向心力，加速度為 v²/r；萬有引力按平方反比規律作用於萬物，當引力恰好充當向心力，行星與人造衛星便能穩定繞行天體。
- 勻速圓周運動速率不變，但速度方向時刻改變，因此有指向圓心的向心加速度
- 向心加速度 a = v²/r，向心力 F = mv²/r；向心力由張力、摩擦力、重力等真實的力提供，不是新的力
- 萬有引力 F = Gm₁m₂/r²，G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²，r 是兩物體中心的距離
文體小知識：科學知識說明文——講解勻速圓周運動的向心加速度與向心力，再由萬有引力推出衛星軌道規律，是力學的壓軸一課。
§課文原文 Passage
1遊樂場的過山車衝過豎直圓環最高點而不跌下來，月亮繞著地球轉了億萬年也不飛走，背後是同一套物理：圓周運動與萬有引力。物體沿圓周以固定速率運動，稱為勻速圓周運動。速率雖然不變，但速度的方向每一刻都在改變，而速度是向量，方向改變就是有加速度，所以它其實一直在加速，需要一個指向圓心的力不斷改變它的運動方向。
2描述圓周運動有兩套語言。一是線速率，即物體沿圓周走動的快慢；二是角速度，即轉過角度的快慢，轉一圈的角度是二π弧度。兩者由半徑連繫：線速率等於半徑乘角速度。轉一圈所需的時間稱為週期，週期越短，轉動越快。旋轉木馬上外圈與內圈的木馬週期相同，但外圈木馬每圈劃過的距離更長，所以走得更快，正是這個關係的寫照。
3指向圓心的加速度稱為向心加速度，大小等於速率的平方除以半徑。由牛頓第二定律，物體必須受到指向圓心的淨力，稱為向心力，大小等於質量乘速率平方再除以半徑。要緊記向心力不是一種新的力，而是由實際存在的力充當：繩的張力、路面的摩擦力或重力都可以擔當此職。繩子一旦斷裂，石頭便沿切線方向飛出，而不是沿半徑向外飄走。
4牛頓再進一步指出：宇宙間任何兩個物體都互相吸引，引力與兩者質量的乘積成正比，與距離的平方成反比，這就是萬有引力定律。比例常數 G 約為 6.67 × 10⁻¹¹，數值極小，日常物件之間的引力微弱得察覺不到；但在行星與恆星的尺度上，引力卻主宰一切。引力場強度描述單位質量在某點所受的引力，地球表面約為 9.8 牛頓每千克，離地越高，數值越小。
5人造衛星能夠長期繞地球飛行，正因為萬有引力恰好充當向心力：引力把衛星不斷拉向地球，而衛星本身有足夠的切向速率，於是不斷「墜落」卻總是落不到地面，形成穩定軌道。軌道越高，引力越小，所需速率也越小，週期越長。這一課把中四以來的力學工具全部用上，是力學的總匯演。下一課我們離開天空，回到家中，看看電路與家居用電的學問。
1重點摘要 Summary
物體沿圓周運動時必須有指向圓心的向心力，加速度為 v²/r；萬有引力按平方反比規律作用於萬物，當引力恰好充當向心力，行星與人造衛星便能穩定繞行天體。
2生字卡 Vocabulary
物體沿圓形路徑以固定速率進行的運動；速率不變但速度方向不斷改變。
單位時間內轉過的角度，單位弧度每秒；等於二π除以週期。
完成一圈運動所需的時間；週期的倒數是轉動頻率。
圓周運動中指向圓心的加速度，大小等於 v²/r。
使物體作圓周運動的指向圓心的淨力，大小等於 mv²/r，由張力、摩擦力或重力等實際的力提供。
任何兩物體互相吸引，引力與質量乘積成正比、與距離平方成反比：F = Gm₁m₂/r²。
萬有引力定律中的比例常數 G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²。
單位質量在某點所受的引力，等於 GM/r²；地球表面約 9.8 N kg⁻¹。
繞行星或恆星運行的物體；人造衛星的軌道運動由萬有引力充當向心力。
物體在引力作用下繞天體運行的路徑；圓形軌道的速率為 v = √(GM/r)。
3逐步講解 Steps
- 第一步：勻速圓周運動與速度方向的迷思物體沿圓形路徑以固定速率運動，就是勻速圓周運動。速率不變不等於沒有加速度：速度是向量，包含大小與方向，圓周運動的方向每一刻都在改變，所以必定有加速度，方向指向圓心。舉個例子：摩天輪上的座艙以均勻速率繞圈，乘客感覺平穩，但座艙的速度方向其實時刻在轉變，只是變化均勻而不易察覺。考試若問「勻速圓周運動有沒有加速度」，答案是「有」，這是概念題的常見陷阱，也常與牛頓第一定律的直線慣性一起出題。
- 第二步：角速度、週期與線速率描述轉動快慢用角速度：每秒轉過的角度，單位是弧度每秒。轉一圈的角度是二π弧度，所以角速度等於二π除以週期；線速率則等於圓周長二πr除以週期，也等於半徑乘角速度。舉個例子：旋轉餐盤上靠近圓心與靠近邊緣的兩點，週期相同、角速度相同，但邊緣的點半徑較大，線速率也較大。計算題中先認清題目給的是線速率還是角速度，再選擇對應公式，可以避免張冠李戴，這是審題的基本功。
- 第三步：向心加速度 a = v²/r圓周運動的加速度指向圓心，稱為向心加速度，大小等於速率的平方除以半徑，即 a = v²/r。速率越大或半徑越小，方向改變得越急，加速度就越大。舉個例子：汽車以同一速率行駛，在急彎（半徑小）時乘客被拋向外側的感覺明顯強於緩彎，正是因為半徑小使向心加速度大。代入數字時注意單位：速率用米每秒，半徑用米，算出的加速度單位才是米每二次方秒。這條公式不涉及質量，是純運動學關係，常與下一拍的力學公式配成對。
- 第四步：向心力從何而來由牛頓第二定律，有加速度就必須有淨力：提供向心加速度的淨力稱為向心力，F = mv²/r，方向恆指向圓心。要緊記向心力不是額外新增的一種力，而是由真實存在的力擔任：水平轉圈的小球由繩的張力充當，汽車轉彎由摩擦力充當，過山車在頂點由重力與軌道壓力共同充當。舉個例子：用繩縛著石塊在水平面上轉圈，繩斷的一刻張力消失，石塊沿切線方向直飛出去，完全遵守牛頓第一定律，而不是沿半徑向外飄。畫力學圖時切勿把向心力重複多畫一個。
- 第五步：萬有引力定律牛頓指出宇宙間任何兩個物體都互相吸引：引力與兩者質量的乘積成正比，與質心距離的平方成反比，寫成 F = Gm₁m₂/r²，其中 G 是萬有引力常數，約 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²。舉個例子：兩球的距離加倍，引力變為四分之一；質量各加倍，引力變為四倍。注意 r 是兩個物體中心之間的距離，衛星問題中等於地球半徑加軌道高度，而不是離地高度，這是計算題最常見的錯位。引力在日常生活中微弱，卻主導行星、潮汐與星系的運動。
- 第六步：引力場強度與 g引力場強度定義為單位質量在該點所受的引力，等於 GM 除以 r 的平方，單位是牛頓每千克。在地球表面，g 約為 9.8 牛頓每千克，亦即自由落體加速度 9.8 米每二次方秒。舉個例子：月球質量小，表面引力場強度只有約 1.6 牛頓每千克，同一個 60 千克的太空人在地球受引力約 588 牛頓，在月球只有約 96 牛頓，所以阿波羅太空人能輕鬆跳得高；重量隨環境改變，質量卻不變。離地越高，g 越小，衛星軌道上的引力顯著減弱。
- 第七步：衛星軌道——引力當向心力衛星繞地球做圓周運動時，萬有引力正好充當向心力：GMm/r² = mv²/r，消去 m 得軌道速率 v = √(GM/r)，與衛星本身質量無關。舉個例子：貼近地面飛行的衛星速率約每秒 7.9 千米，繞一圈只需約一個半小時；同步衛星軌道高得多，速率較慢，週期恰好 24 小時，與地球自轉同步，從地面看永遠停在天空同一點，通訊衛星就靠這個特性服務。答題時先寫「引力提供向心力」，再列式求解，是標準的得分框架，長題目幾乎每年都用得上。
4圖解 Diagrams
5例題示範 Example
例題：（一）過山車經過半徑 5 m 的豎直圓環頂點，求車不脫離軌道的最小速率，取 g = 9.8 m s⁻²。（二）由此說明：人造衛星繞地球作圓周軌道運行時，為什麼不會墜落地面？
- 在頂點作受力分析：重力 mg 向下，軌道的支持力 N 亦向下（軌道在車的上方），合力提供向心力：mg + N = mv²/r
- 最小速率出現在車剛好不脫離軌道的臨界情況，此時支持力 N = 0
- 於是 mg = mv²/r，兩邊消去質量 m：v² = gr
- 代入數字：v = √(9.8 × 5) = √49 = 7 m s⁻¹
- 第（二）部分：衛星所受的萬有引力正好充當向心力，不斷把衛星拉向地球；但衛星有足夠的切向速率，向圓心「墜落」的同時地面彎曲離開它，所以始終落不到地上，維持穩定軌道
- 答案：（一）頂點最小速率 v = √(gr) = √(9.8 × 5) = 7 m s⁻¹；速率再低，重力便超過所需向心力，車會脫離軌道。（二）衛星不墜落是因為引力作為向心力使其不斷向圓心加速，而切向速率令它持續繞行；兩者平衡便成穩定軌道。答題要點：先列受力條件，再寫公式，最後代入數字並附單位。
6常見錯誤 Mistakes
75 題快測 Quick check
Q1勻速圓周運動有沒有加速度？為什麼？
Q2圓周運動的半徑加倍而速率不變，向心力如何改變？
Q3計算：0.5 kg 的石塊以繩縛住，在半徑 0.8 m 的水平圓周以 2 m s⁻¹ 勻速轉動，繩的張力是多少？
Q4兩物體的距離減半，萬有引力變為原來的多少倍？
Q5為什麼人造衛星不會墜落地面？
8重點回顧 Recap
- 勻速圓周運動速率不變，但速度方向時刻改變，因此有指向圓心的向心加速度
- 向心加速度 a = v²/r，向心力 F = mv²/r；向心力由張力、摩擦力、重力等真實的力提供，不是新的力
- 萬有引力 F = Gm₁m₂/r²，G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²，r 是兩物體中心的距離
- 引力場強度 g = GM/r²，地球表面約 9.8 N kg⁻¹，離地越高越小；質量不變而重量隨位置改變
- 衛星圓形軌道中引力就是向心力，v = √(GM/r)；軌道越高，速率越小，週期越長