匀速圆周运动与引力
进阶物体沿圆周运动时必须有指向圆心的向心力，加速度为 v²/r；万有引力按平方反比规律作用于万物，当引力恰好充当向心力，行星与人造卫星便能稳定绕行天体。
- 匀速圆周运动速率不变，但速度方向时刻改变，因此有指向圆心的向心加速度
- 向心加速度 a = v²/r，向心力 F = mv²/r；向心力由张力、摩擦力、重力等真实的力提供，不是新的力
- 万有引力 F = Gm₁m₂/r²，G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²，r 是两物体中心的距离
文体小知识：科学知识说明文——讲解匀速圆周运动的向心加速度与向心力，再由万有引力推出卫星轨道规律，是力学的压轴一课。
§课文原文 Passage
1游乐场的过山车冲过竖直圆环最高点而不跌下来，月亮绕著地球转了亿万年也不飞走，背后是同一套物理：圆周运动与万有引力。物体沿圆周以固定速率运动，称为匀速圆周运动。速率虽然不变，但速度的方向每一刻都在改变，而速度是向量，方向改变就是有加速度，所以它其实一直在加速，需要一个指向圆心的力不断改变它的运动方向。
2描述圆周运动有两套语言。一是线速率，即物体沿圆周走动的快慢；二是角速度，即转过角度的快慢，转一圈的角度是二π弧度。两者由半径连系：线速率等于半径乘角速度。转一圈所需的时间称为周期，周期越短，转动越快。旋转木马上外圈与内圈的木马周期相同，但外圈木马每圈划过的距离更长，所以走得更快，正是这个关系的写照。
3指向圆心的加速度称为向心加速度，大小等于速率的平方除以半径。由牛顿第二定律，物体必须受到指向圆心的净力，称为向心力，大小等于质量乘速率平方再除以半径。要紧记向心力不是一种新的力，而是由实际存在的力充当：绳的张力、路面的摩擦力或重力都可以担当此职。绳子一旦断裂，石头便沿切线方向飞出，而不是沿半径向外飘走。
4牛顿再进一步指出：宇宙间任何两个物体都互相吸引，引力与两者质量的乘积成正比，与距离的平方成反比，这就是万有引力定律。比例常数 G 约为 6.67 × 10⁻¹¹，数值极小，日常物件之间的引力微弱得察觉不到；但在行星与恒星的尺度上，引力却主宰一切。引力场强度描述单位质量在某点所受的引力，地球表面约为 9.8 牛顿每千克，离地越高，数值越小。
5人造卫星能够长期绕地球飞行，正因为万有引力恰好充当向心力：引力把卫星不断拉向地球，而卫星本身有足够的切向速率，于是不断「坠落」却总是落不到地面，形成稳定轨道。轨道越高，引力越小，所需速率也越小，周期越长。这一课把中四以来的力学工具全部用上，是力学的总汇演。下一课我们离开天空，回到家中，看看电路与家居用电的学问。
1重点摘要 Summary
物体沿圆周运动时必须有指向圆心的向心力，加速度为 v²/r；万有引力按平方反比规律作用于万物，当引力恰好充当向心力，行星与人造卫星便能稳定绕行天体。
2生字卡 Vocabulary
物体沿圆形路径以固定速率进行的运动；速率不变但速度方向不断改变。
单位时间内转过的角度，单位弧度每秒；等于二π除以周期。
完成一圈运动所需的时间；周期的倒数是转动频率。
圆周运动中指向圆心的加速度，大小等于 v²/r。
使物体作圆周运动的指向圆心的净力，大小等于 mv²/r，由张力、摩擦力或重力等实际的力提供。
任何两物体互相吸引，引力与质量乘积成正比、与距离平方成反比：F = Gm₁m₂/r²。
万有引力定律中的比例常数 G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²。
单位质量在某点所受的引力，等于 GM/r²；地球表面约 9.8 N kg⁻¹。
绕行星或恒星运行的物体；人造卫星的轨道运动由万有引力充当向心力。
物体在引力作用下绕天体运行的路径；圆形轨道的速率为 v = √(GM/r)。
3逐步讲解 Steps
- 第一步：匀速圆周运动与速度方向的迷思物体沿圆形路径以固定速率运动，就是匀速圆周运动。速率不变不等于没有加速度：速度是向量，包含大小与方向，圆周运动的方向每一刻都在改变，所以必定有加速度，方向指向圆心。举个例子：摩天轮上的座舱以均匀速率绕圈，乘客感觉平稳，但座舱的速度方向其实时刻在转变，只是变化均匀而不易察觉。考试若问「匀速圆周运动有没有加速度」，答案是「有」，这是概念题的常见陷阱，也常与牛顿第一定律的直线惯性一起出题。
- 第二步：角速度、周期与线速率描述转动快慢用角速度：每秒转过的角度，单位是弧度每秒。转一圈的角度是二π弧度，所以角速度等于二π除以周期；线速率则等于圆周长二πr除以周期，也等于半径乘角速度。举个例子：旋转餐盘上靠近圆心与靠近边缘的两点，周期相同、角速度相同，但边缘的点半径较大，线速率也较大。计算题中先认清题目给的是线速率还是角速度，再选择对应公式，可以避免张冠李戴，这是审题的基本功。
- 第三步：向心加速度 a = v²/r圆周运动的加速度指向圆心，称为向心加速度，大小等于速率的平方除以半径，即 a = v²/r。速率越大或半径越小，方向改变得越急，加速度就越大。举个例子：汽车以同一速率行驶，在急弯（半径小）时乘客被抛向外侧的感觉明显强于缓弯，正是因为半径小使向心加速度大。代入数字时注意单位：速率用米每秒，半径用米，算出的加速度单位才是米每二次方秒。这条公式不涉及质量，是纯运动学关系，常与下一拍的力学公式配成对。
- 第四步：向心力从何而来由牛顿第二定律，有加速度就必须有净力：提供向心加速度的净力称为向心力，F = mv²/r，方向恒指向圆心。要紧记向心力不是额外新增的一种力，而是由真实存在的力担任：水平转圈的小球由绳的张力充当，汽车转弯由摩擦力充当，过山车在顶点由重力与轨道压力共同充当。举个例子：用绳缚著石块在水平面上转圈，绳断的一刻张力消失，石块沿切线方向直飞出去，完全遵守牛顿第一定律，而不是沿半径向外飘。画力学图时切勿把向心力重复多画一个。
- 第五步：万有引力定律牛顿指出宇宙间任何两个物体都互相吸引：引力与两者质量的乘积成正比，与质心距离的平方成反比，写成 F = Gm₁m₂/r²，其中 G 是万有引力常数，约 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²。举个例子：两球的距离加倍，引力变为四分之一；质量各加倍，引力变为四倍。注意 r 是两个物体中心之间的距离，卫星问题中等于地球半径加轨道高度，而不是离地高度，这是计算题最常见的错位。引力在日常生活中微弱，却主导行星、潮汐与星系的运动。
- 第六步：引力场强度与 g引力场强度定义为单位质量在该点所受的引力，等于 GM 除以 r 的平方，单位是牛顿每千克。在地球表面，g 约为 9.8 牛顿每千克，亦即自由落体加速度 9.8 米每二次方秒。举个例子：月球质量小，表面引力场强度只有约 1.6 牛顿每千克，同一个 60 千克的太空人在地球受引力约 588 牛顿，在月球只有约 96 牛顿，所以阿波罗太空人能轻松跳得高；重量随环境改变，质量却不变。离地越高，g 越小，卫星轨道上的引力显著减弱。
- 第七步：卫星轨道——引力当向心力卫星绕地球做圆周运动时，万有引力正好充当向心力：GMm/r² = mv²/r，消去 m 得轨道速率 v = √(GM/r)，与卫星本身质量无关。举个例子：贴近地面飞行的卫星速率约每秒 7.9 千米，绕一圈只需约一个半小时；同步卫星轨道高得多，速率较慢，周期恰好 24 小时，与地球自转同步，从地面看永远停在天空同一点，通讯卫星就靠这个特性服务。答题时先写「引力提供向心力」，再列式求解，是标准的得分框架，长题目几乎每年都用得上。
4图解 Diagrams
5例题示范 Example
例题：（一）过山车经过半径 5 m 的竖直圆环顶点，求车不脱离轨道的最小速率，取 g = 9.8 m s⁻²。（二）由此说明：人造卫星绕地球作圆周轨道运行时，为什么不会坠落地面？
- 在顶点作受力分析：重力 mg 向下，轨道的支持力 N 亦向下（轨道在车的上方），合力提供向心力：mg + N = mv²/r
- 最小速率出现在车刚好不脱离轨道的临界情况，此时支持力 N = 0
- 于是 mg = mv²/r，两边消去质量 m：v² = gr
- 代入数字：v = √(9.8 × 5) = √49 = 7 m s⁻¹
- 第（二）部分：卫星所受的万有引力正好充当向心力，不断把卫星拉向地球；但卫星有足够的切向速率，向圆心「坠落」的同时地面弯曲离开它，所以始终落不到地上，维持稳定轨道
- 答案：（一）顶点最小速率 v = √(gr) = √(9.8 × 5) = 7 m s⁻¹；速率再低，重力便超过所需向心力，车会脱离轨道。（二）卫星不坠落是因为引力作为向心力使其不断向圆心加速，而切向速率令它持续绕行；两者平衡便成稳定轨道。答题要点：先列受力条件，再写公式，最后代入数字并附单位。
6常见错误 Mistakes
75 题快测 Quick check
Q1匀速圆周运动有没有加速度？为什么？
Q2圆周运动的半径加倍而速率不变，向心力如何改变？
Q3计算：0.5 kg 的石块以绳缚住，在半径 0.8 m 的水平圆周以 2 m s⁻¹ 匀速转动，绳的张力是多少？
Q4两物体的距离减半，万有引力变为原来的多少倍？
Q5为什么人造卫星不会坠落地面？
8重点回顾 Recap
- 匀速圆周运动速率不变，但速度方向时刻改变，因此有指向圆心的向心加速度
- 向心加速度 a = v²/r，向心力 F = mv²/r；向心力由张力、摩擦力、重力等真实的力提供，不是新的力
- 万有引力 F = Gm₁m₂/r²，G = 6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²，r 是两物体中心的距离
- 引力场强度 g = GM/r²，地球表面约 9.8 N kg⁻¹，离地越高越小；质量不变而重量随位置改变
- 卫星圆形轨道中引力就是向心力，v = √(GM/r)；轨道越高，速率越小，周期越长